4-dukto

En matematiko, 4-dukto estas 4-dimensia topologia dukto. glata 4-dukto estas 4-dukto kun glata strukturo. En dimensio kvar, en kontrasto kun subaj dimensioj, topologia kaj glata duktoj estas sufiĉe malsamaj. Ekzistas topologiaj 4-duktoj kiuj ne havas glatan strukturon. Se ekzistas glata strukturo ĝi ne nepre estas unika, kio estas ke ekzistas glataj 4-duktoj kiu estas homeomorfiaj sed ne glate izomorfiaj.

Topologiaj 4-duktoj

La homotopeca speco de simple koneksa kompakta 4-dukto nur dependas sur la komunaĵo formo sur la meza dimensia homologeco. Fama teoremo de Michael Freedman diras ke la homeomorfia speco de la dukto nur dependas de ĉi tiu komunaĵa formo, kaj sur Z/2Z invarianto nomata kiel la invarianto de Kirby-Siebenmann, kaj ankaŭ ke ĉiu kombinaĵo unumodula formo kaj invarianto de Kirby-Siebenmann povas esti, escepte de tiu kie formo estas para kaj la invarianto de Kirby-Siebenmann egalas al la subskribo/8 (mod 2).

Ekzemploj:

• En la speciala okazo kiam la formo estas 0, ĉi tio implicas la 4-dimensian konjekton de Poincare.
• Se la formo estas E₈, ĉi tiu donas la E8 dukton, kiu estas dukto ne homeomorfia al ĉiu simpleca komplekso.
• Se la formo estas Z, estas du duktoj dependante de la invarianto de Kirby-Siebenmann:
  • Unu estas 2 dimensia kompleksa projekcia spaco.
  • La alia estas falsa projekcia spaco, kun la sama homotopeca speco sed ne homeomorfia kaj sen glata strukturo.
• Kiam la rango de formo estas pli granda ol proksimume 28, la kvanto de pozitivaj definitivaj unumodulaj formoj pligrandiĝas ege rapide kun la rango, tiel estas grandegaj kvantoj de respektivaj simple koneksaj topologiaj 4-duktoj, plejparto el kiu aspektas al esti preskaŭ ne interesaj.

Klasifiko de Freedman povas esti etendita al iuj okazoj kiam la fundamenta grupo estas ne tro komplika; ekzemple, kiam ĝi estas Z estas simila klasifiko uzanta Hermitajn formojn super la grupa ringo de Z. Se la fundamenta grupo estas ankaŭ granda (ekzemple, libera grupo sur 2 generiloj) tiam la manieroj de Freedman ŝajne malsukcesas kaj tre malmulto estas sciata pri ĉi tiaj duktoj.

Por ĉiu finie prezentita grupo estas facile al konstrui glatan kompaktan 4-dukto kun ĝi kiel ĝia fundamenta grupo. Ĉar ne estas algoritmo por kontroli ĉu du finie prezentitaj grupoj estas izomorfiaj (eĉ se unu el ili estas bagatela) ne estas algoritmo por kontroli ĉu du 4-duktoj havas la saman fundamentan grupon. Ĉi tio estas unu kaŭzo de tio ke multo de la laboro pri 4-duktoj konsideras la simple koneksan okazon, la ĝenerala okazo de multaj problemoj estas jam sciata al esti tro malfacila.

Glataj 4-duktoj

Por duktoj de dimensio maksimume 6, ĉiu popeca lineara (PL) strukturo povas esti glatigita en esence unika vojo, tiel en aparta la teorio de 4-dimensiaj PL duktoj estas multo la sama kiel en la teorio de 4-dimensiaj glataj duktoj.

Grava malfermita problemo en la teorio de glataj 4-duktoj estas klasifiki la simple koneksajn kompaktajn duktojn. Pro ti ke la topologiaj 4-duktoj estas sciataj, ĉi tio disdividiĝas en du partojn:

• Difini kiuj topologiaj duktoj estas glatigeblaj (havas glatajn strukturojn).
• Klasifiki la malsamajn glatajn strukturojn sur glatigebla dukto.

Estas preskaŭ plena respondo al la unua problemo pri tio kiuj simple koneksaj kompaktaj 4-duktoj havas glatajn strukturojn. Unue, la invarianto de Kirby Siebenmann devas esti 0.

• Se la komunaĵa formo estas definitiva, teoremo de Donaldson donas plenan respondo: estas glata strukturo se kaj nur se la formo estas diagonaligebla.
• Se la formo estas nedifinita kaj nepara estas glata strukturo.
• Se la formo estas nedifinita kaj para oni povas preni ke ĝi estas de nepozitiva per ŝanĝo de la orientiĝoj se necesas, en ĉi tiu okazo ĝi estas izomorfia al sumo de m kopioj de II_1,1 kaj 2n kopioj de E₈(-1) por iuj m kaj n. Se m≥3n (la dimensio estas minimume 11/8 fojoj de la |subskribo|) tiam estas glata strukturo, donita per preno de sumo de n K3 surfacoj kaj m-3n produtoj de du projekciaj linioj. Se m≤2n>0 (la dimensio estas maksimume 10/8 fojoj de la |subskribo|) tiam, kiel Donaldson kaj Furuta pruvis, glata strukturo ne ekzistas. Ĉi tiu lasas malgrandan intervalon inter 10/8 kaj 11/8 kie la respondo estas plejparte nekonata. La plej malgranda ĉi tia nekovrita okazo estas de n=2 kaj m=5, sed ĉi tiu estas solvita tiel la plej malgranda krado por kiu la respondo estas ne nun sciata estas la krado II_7,55 de rango 62 kun n=3 kaj m=7. La "11/8 konjekto" ŝtatas ke glataj strukturoj ne ekzistas se la dimensio estas malpli granda ol 11/8 fojoj de la |subskribo|.

En kontrasto, tre malmulto estas sciata (kiel en 2006) pri la dua demando de klasifiko de glataj strukturoj sur glatigebla 4-dukto. Por neniu glatigebla 4-dukto la respondo estas sciata. Donaldson montris ke estas iuj simple koneksaj kompaktaj 4-duktoj kun kalkulebla malfinia kvanto de malsamaj glataj strukturoj. Estas nekalkulebla kvanto de malsamaj glataj strukturoj sur R⁴ (vidu en ekzotika R⁴).

Fintushel kaj Stern montris kiel uzi kirurgion por konstrui grandajn kvantojn da malsamaj glataj strukturoj (indeksitaj per ajnaj integralaj polinomoj) sur multaj malsamaj duktoj, uzante invariantojn Seiberg-Witten por montri ke la glataj strukturoj estas malsamaj. Iliaj rezultoj sugestas ke ĉiu klasifiko de simple koneksaj glataj 4-duktoj estas tre komplika. Ne estas nun kredeblaj konjektoj pri tio kiel ĉi tiu klasifiko povus aspekti. Iuj fruaj konjektoj ke ĉiuj simple koneksaj glataj 4-duktoj povus esti koneksaj sumoj de algebraj surfacoj, aŭ kunplektitaj duktoj, eble kun dorsflankitaj orientiĝoj, estas malpruvitaj.

Specialaj fenomenoj en 4-dimensioj

Estas kelkaj fundamentaj teoremoj pri duktoj kiuj povas esti pruvita per malalte dimensiaj manieroj en dimensioj maksimume 3, kaj per plene malsamaj alte dimensiaj manieroj en dimensioj minimume 5, sed kiu estas malveraj en dimensio 4.

• En dimensioj escepte 4, la invarianto de Kirby-Siebenmann provizas la barilon al la ekzisto de PL strukturo; en aliaj vorta kompakta topologia dukto havas PL strukturon se kaj nur se ĝia invarianto de Kirby-Siebenmann en H⁴(M,Z/2Z) estas 0. En dimensio 3 kaj suba, ĉiu topologia dukto havas esence unikan PL strukturon. En dimensio 4 estas multaj ekzemploj kun nula invarianto de Kirby-Siebenmann invarianto sed sen PL strukturo.

• En ĉiu dimensio escepte 4, kompakta topologia dukto havas nur finian kvanton de esence malsamaj PL aŭ glataj strukturoj. En dimensio 4, kompaktaj duktoj povas havi numereble malfinian kvanton de ne-glate izomorfiaj glataj strukturoj.

• 4 estas la nura dimensio n por kiu Rⁿ povas havi ekzotikan glatan strukturon. R⁴ havas nekalkuleblan kvanton de ekzotikaj glataj strukturoj, vidu en ekzotika R⁴.

• La solvaĵo de la glata konjekto de Poincaré estas sciata en ĉiuj dimensioj escepte de 4 (ĝi estas kutime malvera en dimensioj minimume 7, vidu en ekzotika sfero). La konjekto de Poincaré por PL duktoj havas estas pruvita por ĉiuj dimensioj escepte de 4, sed ĝi ne estas sciate ĉu ĝi estas vera en 4 dimensioj (ĝi estas ekvivalento al la glata Konjekto de Poincaré en 4 dimensioj).

• La glata h-ena homologaĵa teoremo tenas por enaj homologaĵoj se nek la ena homologaĵo nek ĝia rando havas dimension 4. Ĝi povas malsukcesi se la rando de la ena homologaĵo havas dimension 4 (kiel estas montrite de Donaldson). Se la ena homologaĵa havas dimension 4, tiam estas nekonate ĉu la h-ena homologaĵa teoremo veras.

• Topologia dukto de dimensio ne egala al 4 havas ansokorpan malkomponaĵon. Dukto de dimensio 4 havas ansokorpan malkomponaĵon se kaj nur se ĝi estas glatigebla.

• Estas kompaktaj topologiaj 4-duktoj kiuj estas ne homeomorfia al ĉiu simpleca komplekso. En dimensio almenaŭ 5 la ekzisto de topologiaj duktoj ne homeomorfia al simpleca komplekso estas malfermita problemo (kiel en 2007).

Vidu ankaŭ

• 1-dukto
• 2-dukto
• 3-dukto
• 5-dukto
• Algebra surfaco
• Klasifiko de Enriques-Kodaira
• Kalkulo de Kirby
• Anso de Casson
• Kvara dimensio

Eksteraj ligiloj

  [1] R. C. Kirby, L. R. Taylor, A survey of 4-manifolds through the eyes of surgery - Katastro de 4-duktoj tra la okuloj de kirurgio

  [2] R. Mandelbaum, Four-dimensional topology: an introduction - Kvar-dimensia topologio: enkonduko