Absoluta konverĝo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, seriointegralo estas konverĝa absolute se la sumo aŭ integralo de la absoluta valoro de la termo aŭ integralato estas finia. La propraĵo de absoluta konverĝo estas grava ĉar ĝi estas ĝenerale postulita en por reordigoj kaj produtoj de sumoj.

Pli detale, serio

\sum_{n=1}^\infty a_n

estas konverĝa absolute se

\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|<\infty.

Se a_n estas kompleksa nombro, ĉi tiu teoremo povas esti imagita sekve: la sumo de ĉiuj a_k estas vektora adicio en la kompleksa ebeno. Se la longo de la vojo, kiu estas la sumo de ĉiuj longoj |a_k|, estas finia, la fina punkto estas en finia distanco de la 0.

Ankaŭ, integralo

\int_A f(x)\,dx

estas konverĝa absolute se la integralo de la respektiva absoluta valoro estas finia, kio estas

\int_A \left|f(x)\right|\,dx<\infty.

Reordigoj[redakti | redakti fonton]

Absoluta konverĝo signifas ke la valoro de la sumo aŭ integralo estas sendependa de la ordo en kiu la sumo estas kalkulata. Tio estas, reordigo de la serio

\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}

kie σ estas permuto de la naturaj nombroj, ne ŝanĝas la sumon al kiu la serio konverĝas. Simile estas pri integraloj.

En la lumo de lebega teorio de integralado, sumoj povas esti traktataj kiel specialaj okazoj de integraloj, iom kiel aparta okazo.

Produtoj de serio[redakti | redakti fonton]

La koŝia produto de du serioj konverĝas al la produto de la sumoj se almenaŭ unu el la serioj konverĝas absolute. Estu:

\sum_{n=0}^\infty a_n = A
\sum_{n=0}^\infty b_n = B

La koŝio produto estas difinita kiel la sumo de termoj c_n kie:

c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

Tiam, se almenaŭ unu el sumoj de a_n kaj b_n konverĝas absolute, do

\sum_{n=0}^\infty c_n = AB

Kondiĉa konverĝo[redakti | redakti fonton]

Kondiĉe konverĝa serio aŭ integralo estas unu tiu kiu konverĝas sed ne konverĝas absolute. Bernhard Riemann pruvis ke kondiĉe konverĝa serio povas esti reordigita por konverĝi al ĉiu donita nombro, inkluzivante na ∞ kaj −∞. Vidu en rimana seria teoremo.

Vidi ankaŭ[redakti | redakti fonton]