Hiperebeno
Hiperebeno estas koncepto en geometrio. Ĝi estas pli alte dimensia ĝeneraligo de la konceptoj de 1-dimensia linio en 2-dimensia geometrio kaj 2-dimensia ebeno en 3-dimensia geometrio.
m-dimensia hiperebeno estas fakte la samo kiel m-dimensia spaco, sed hiperebeno estas konsiderata ne sendepende sed en pli grande dimensia spaco, do en n-spaco kun m<n aŭ pli konkrete m=n-1.
Diversaj specoj de hiperebeno estadas konsiderataj, ili diferenciĝas, interalie, per tio kiel estas konsiderata malfinio en la hiperebeno. La plej kutimaj specoj estas:
Afina hiperebeno[redakti | redakti fonton]
En afina geometrio, afina spaco estas (proksimume ???) simpligita speco de eŭklida spaco, kun reelaj nombroj kiel koordinatoj.
Afina subspaco de la spaco, kiu dividas la spacon enen du duonspacojn, estas "hiperebeno".
En la ĝenerala okazo, afina hiperebeno estas afina subspaco kun dimensio je 1 malpli granda.
Do, en 1-dimensia spaco (rekto), hiperebeno estas punkto; ĝi dividas linion en du radiojn. En 2-dimensia spaco, hiperebeno estas linio; ĝi dividas la ebenon en du duonebenojn. En 3-dimensia spaco, hiperebeno estas ordinara ebeno; ĝi dividas la spaco en du duonspacojn.
Afina hiperebeno en n-dimensia spaco kun koordinatoj en kampo K povas esti priskribita per ne-degenera lineara ekvacio de formo:
- a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.
Ĉi tie, ne-degenereco signifas ke ne ĉiuj el ai estas nulo. Se b=0, rezultiĝas lineara aŭ homogena hiperebeno, kiu situas tra la fonto de la koordinatsistemo.
La du duonspacoj difinitaj per hiperebeno en n-dimensia spaco kun reelaj koordinatoj estas:
- a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b
kaj
- a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ b.
Notoj
- Hiperebenoj en kompleksa afina spaco ne disdividas la spacon en du partoj. Por ke hiperebeno disdividu la spacon la koordinata kampo devas esti ordita kampo.
- Termino regno estas proponita por 3-dimensia hiperebeno en 4-dimensia spaco, sed ĝi estas uzata malofte.
Vektora hiperebeno[redakti | redakti fonton]
En lineara algebro la termino "hiperebeno" estas uzata en pli limigita maniero. Hiperebeno en vektora spaco estas vektora subspaco (aŭ "lineara subspaco") kies dimensio estas je 1 malpli ol tiu de la tuta vektora spaco. Ĉi tiuj hiperebenoj estas la afinaj hiperebenoj kiuj enhavas la fonto de la koordinatsistemo.
Projekcia hiperebeno[redakti | redakti fonton]
Estas ankaŭ projekciaj hiperebenoj en projekcia geometrio. Projekcia geometrio povas esti konsiderata kiel afina geometrio kun aldonitaj nuliĝantaj punktoj (punktoj je malfinio). Afina hiperebeno kaj ankaŭ la asociitaj punktoj je malfinio formas la projekcian hiperebenon. Estas ankoraŭ unu la alia projekcia hiperebeno: la aro de ĉiuj punktoj je malfinio, nomata kiel la malfinio aŭ ideala hiperebeno.
En reela projekcia spaco, hiperebeno ne dividi la spacon en du partojn; bezonatas du hiperebenoj por apartigi punktojn kaj disdividi la spacon.