Algebra ero

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Radikoj de polinomoj estas en abstrakta algebro nomitaj kiel algebraj eroj. Ili povas kreiĝi en pli grandan strukturon.

Pli detale, se L estas kampa vastigaĵo de K do ero A de L estas nomita kiel algebra ero super K, aŭ algebra supero de K, se tie ekzistas iu nenula polinomo g(x) kun koeficientoj en K tia ke g(A)=0. Eroj de L kiuj ne estas algebraj superoj de K estas nomitaj kiel transcendaj super K.

Ĉi tiuj nocioj ĝeneraligas la algebrajn nombrojn kaj la transcendajn nombrojn (se la kampa vastigaĵo estas C/Q, C estas la kampo de kompleksaj nombroj kaj Q estas la kampo de racionalaj nombroj, racionoj, racionaloj)).

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Jenaj kondiĉoj estas ekvivalento por ero A de L:

  • A estas algebra super K
  • la kampa vastigaĵo K(A)/K havas finia grado, mi.e. la dimensio de K(A) kiel K-vektora spaco estas finia. (Ĉi-tie K(A) signifas la plej minuskla subkorpo de L enhavanta K kaj A)
  • K[A] = K(A), kie K[A] estas la aro de ĉiuj eroj de L (tiu, ke) povas esti skribita en la formo g(A) kun polinoma g kies koeficientoj (mensogi, kuŝi) en K.

Ĉi tiu karakterizado povas kutimi montri (tiu, ke) la sumo, diferenco, (produkto, produto) kaj rilato de algebraj eroj super K estas denove algebra super K. La aro de ĉiuj eroj de L kiu estas algebra super K estas kampo (tiu, ke) (sidas, kovas) en inter L kaj K.

Se A estas algebra super K, tiam estas multaj ne-nulaj polinomoj g(x) kun koeficientoj en K tia (tiu, ke) g(A) = 0. Tamen estas unulita unu kun plej minuskla grado kaj kun kondukante koeficiento 1. Ĉi tiu estas la minimuma polinoma de A kaj ĝi kodas multaj gravaj propraĵoj de A.

Kampoj (tiu, ke) fari ne permesi ĉiuj algebraj eroj super ilin (escepti ilia posedi eroj) estas nomita algebre fermita. La kampo de (kompleksaj nombroj, kompleksoj, imaginaroj) estas ekzemplo.