Algebra strukturo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En pli alta matematiko, "algebra strukturo" estas loze-difinita termino signifanta la matematikajn objektojn tradicie studatajn en la kampo de abstrakta algebro: aroj kun operacioj.

En universala algebro, oni studas algebrajn strukturojn konsistantajn el aro kaj kolekto de operacioj difinitaj sur la aro kiu estas postulita kontentigi certajn identojn.

La vorto "strukturo" povas signi specifan matematikan objekton aŭ eĉ pli abstraktan koncepton. Ekzemple, la monstra grupo samtempe estas algebra strukturo, kaj ĝi havas algebran strukturon: la strukturon komunigitan de ĉiuj grupoj. Ĉi tiu artikolo uzas ambaŭ sencoj de la termino.

Strukturoj kies aksiomoj ĉiuj estas identecoj[redakti | redakti fonton]

Ĉiuj aksiomoj de strukturoj en ĉi tio sekcio estas identecoj, aŭ egalaĵoj, kiel ekzemple propraĵo de adicio ke a+b = b+a por ĉiuj a kaj b.

Simplaj strukturoj: Neniu duuma operacio:

Grupoecaj strukturoj: Unu unuuma operacio

Ringoecaj strukturoj: Du duumaj operacioj

  • Duonringo: aro kiu formas duone-grupon sub du malsamaj duumaj operacioj, kie unu el ili ("aldono") komutiĝas, (veriganta, kontentiganta) distribueco. Ĉi tiu la sama kiel ringo, sed sen kontraŭegaloj.

Moduloj: Sistemoj difinitaj super du aroj, M kaj R:

Alĝebroj
Latisoj

Strukturoj kun aksiomoj kiuj ne estas identecoj[redakti | redakti fonton]

La strukturoj en ĉi sekcio ne estas variaĵoj, ĉar ili ne eblas aksiomigi ili sole per identecoj.

Unu ampleksigo de la koncepto de algebra strukturo estas studi arojn kun operacioj, kiuj devas kontentigi aksiomoj escepte identoj.

La pli supraj strukturoj estas ĉiuj formalaj sistemoj, ili konsistas pure el difinoj kaj ne metas iujn ajn limigajn kondiĉojn sur la strukturojn. En la difino de kampo pli sube estas la limiga kondiĉo 0 (la alsuma idento) ≠ 1 (la multiplika idento. Por ke tiu estu pure formala strukturo neniu tia kondiĉo devus lokiĝi. Tamen, se 0=1 tiam la strukturo kolapsas. De ĉi tie, necesa limigo (, ke, kiu) 0 ≠ 1 bezonas lokiĝi por certigi, ke ni havos utilan matematikan eternecon. Kvankam ĉi tiuj strukturoj sendube havas algebran gustigi, ili suferas de difektoj ne trovitaj en universala algebro. Ekzemple, ne ekzistas produto de du integrecaj ringoj, nek libera kampo super iu ajn aro.

  • Integreca ringo: ringo kun 0 ≠ 1, kiu havas neniujn nuldivizorojn escepte 0
  • Divida ringo, ankaŭ nomita dekliva kampo: integreca ringo kun inversa operacio (la inversa operacio estas ne difinita por la alsuma idento)
  • Kampo: komuta divida ringo
  • Artinian-ringo: ringo kiu kontentigas la descendantan ĉenan kondiĉon sur idealoj.
Aritmetikaĵoj
Kamp-similaj strukturoj

Kombinitaj sistemoj: vektoraj spacoj kaj algebroj sur kampoj

Tri duumaj operacioj
Kvar duumaj operacioj
Kombinitaj sistemoj
multliniaraj algebroj

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

  • La (ne-nulo) naturaj nombroj kun aldono (+) estas magmo.
  • La nenegativaj entjeroj sub aldono estas magmo kun idento.
  • La entjeroj Z kun subtraho (−) formas kvazaŭgrupon.
  • La nenulo racionaloj Q kun divido (÷) formas kvazaŭgrupon.
Grup-similaj strukturoj
  • Ĉiu grupo estas ciklo, ĉar a * x = b se kaj nur se x = a−1 * b, kaj y * a = b se kaj nur se y = b * a−1.
  • La entjeroj Z kun aldono (+) formas komutan grupon.
  • La ne-nulo racionaloj Q kun multipliko (×) formas komutan grupon.
  • Du per du matricoj kun multipliko ariĝi (ne komuta).
  • Ĉiu cikla grupo G estas abela, ĉar se x, y estas en G, tiam _xy_ = aman = am + n = an + m = anam = _yx_. En aparta, la entjeroj Z formas komutan grupon sub aldono, kiel fari la entjeroj module n

Z/nZ.

Latisoj
Ring-similaj strukturoj
  • La naturaj nombroj (inkluzivanta nulon), kun la ordinara aldono kaj multipliko estas komuta duonringo.
  • La aro R[X] de ĉiuj polinomoj super iu koeficienta ringo R formas ringon.
  • Du per du matricoj kun aldono kaj multipliko formas ringon (ne komutan).
  • Finia ringo: Se n estas pozitiva entjero, tiam la aro Zn = Z/nZ de entjeroj module n (kiel adicia grupo la cikla grupo de ordo n ) formas ringon kun n eroj (vidu artikolon modula aritmetiko).
Integrecaj ringoj
  • La entjeroj kun la du operacioj de aldono kaj multipliko formas integrecan ringon.
  • La p-adic-aj entjeroj.
Kampoj
  • La racionalaj nombroj kun aldono kaj multipliko formas kampon.
  • La reelaj nombroj R, sub la kutimaj operacioj aldono kaj multipliko.
  • Kiam la reelaj nombroj estas donitaj la kutima (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) ili formas plenumi ordita kampo kiu estas kategoria — ĝi estas ĉi tiun strukturon kiu provizas la fundamenton por plej formalaj traktoj de kalkulo.
  • La kompleksaj nombroj C, sub la kutimaj operacioj aldono kaj multipliko.
  • Algebra nombra kampo estas finia kampa vastigaĵo de la racionalaj nombroj Q, tio estas, kampo enhavanta Q kiu havas finian dimension kiel vektora spaco super Q. Tiaj kampoj estas tre gravaj en nombroteorio.
  • Se q > 1 estas povo de primo, tiam tie ekzistas (supren al izomorfio) akurate unu finia kampo kun q eroj, kutime signifis Fq, Z/qZ, aŭ Gf(q). Ĉiu alia finia kampo estas izomorfia al unu el ĉi tiuj kampoj. Tiaj kampoj estas ofte nomitaj Galeza kampo, kien la notacio Gf(q).
    • Donite primon p, la aro de entjeroj module p estas finia kampo kun p eroj: Fp = {0, 1, …, p − 1} kie la operacioj estas difinitaj per plenumado de la operacio en Z, dividanta per p kaj prenante la reston; vidu artikolon modula aritmetiko.

Permesado de aldona strukturo[redakti | redakti fonton]

Algebraj strukturoj povas ankaŭ esti difinitaj sur aroj kun aldona ne-algebra strukturo, kiel topologia spaco. La algebra strukturo estas postulita esti iel kongrua kun la aldona strukturo.

Teorio de kategorioj[redakti | redakti fonton]

Ĉiu algebra strukturo havas sian propran nocion de homomorfio, nome iu ajn funkcio kiu estas kongrua kun la donita(j) operacio(j) difinanta(j) la strukturon. Tiamaniere, ĉiu algebra strukturo difinas kategorion.

Ekzemple, la kategorio de grupoj havas ĉiujn grupojn kiel objektojn kaj ĉiujn grupajn homomorfiojn kiel strukturkonservantajn transformojn. Ĉi tiu konkreta kategorio povas esti konsideratata kiel kategorio de aroj kun aldonita strukturo en la kategorio-teoria senco. Simile, la kategorio de topologiaj grupoj (kun kontinuaj grupaj homomorfioj kiel strukturkonservantaj transformoj) estas kategorio de topologiaj spacoj kun superflua strukturo.

Estas diversaj konceptoj en la teorio de kategorioj kiuj provas enkapti la algebran karakteron de ĉirkaŭteksto, ekzemple

  • algebreca
  • esence algebreca
  • prezentebla
  • loke prezentebla
  • universala propraĵo

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • Garrett Birkhoff kaj Saunders MacLane, 1999 (1967). Algebra, 2nd ed. Chelsea.
  • Michel, Anthony N., kaj Herget, Charles J., 1993 (1981). Applied Algebra and Functional Analysis. Dover.

Monografo senpage havebla perrete:

Teorio de kategorioj:

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]