Alterna serio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, alterna serio estas malfinia serio de formo

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n

kun an ≥ 0 por ĉiuj n (aŭ an ≤ 0 por ĉiuj n). Finia sumo de ĉi tiu speco estas alterna sumo. Alterna serio konverĝas se la termoj an konverĝas al 0 monotone. La eraro E de aproksimado de la alterna serio per ĝia parta sumo de n eroj estas ne pli granda ol la unua nesumigita ero:

|E| < |an+1|

Sufiĉa kondiĉo por ke la serio konverĝu estas ke ĝi konverĝas absolute. Sed ĉi tiu estas ofte tro forta kondiĉo, ĝi estas ne necesa. Ekzemple, la harmona serio

\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}

malkonverĝas, sed ĝia la alterna versio

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}

konverĝas al log 2.

Pli ofte donanta jesan rezulton provo por konverĝo de alterna serio estas alterna seria provo: se la vico an estas monotone malkreskanta kaj strebas al nulo, tiam la serio

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n

konverĝas.

Pruvo

Estu partaj sumoj

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k

Se la vico an strebas al nulo kaj estas monotona malkreskanta (almenaŭ ekde certa n), eblas montri ke la vico de partaj sumoj estas koŝia vico. Alprenante ke m<n,


\begin{array}{rcl}
\displaystyle\left|\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\right|&=&\displaystyle\left|\sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\ \ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n<a_{m+1}
\end{array}

(tio ke la vico estante monotona malkreskanta garantias ke a_{k}-a_{k+1}>0; noto ke formale oni bezonas enkalkuli ĉu n estas para aŭ nepara, sed ĉi tio ne ŝanĝas la ideon de la pruvo)

Ĉar a_{m+1}\rightarrow0 kiam m\rightarrow\infty, la vico de partaj sumoj estas koŝia vico, kaj tiel la serio estas konverĝa. Pro tio ke la pritakso pli supre ne dependas de n, ĝi ankaŭ montras ke

\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\right|<a_{m+1}.

Konverĝa alterna serio kiu ne konverĝas absolute estas ekzemplo de kondiĉa konverĝa serio. Tiam rimana seria teoremo aplikeblas al ĝia reordigoj.