Analitika geometrio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Cartesian-coordinate-system.svg

Analitika geometrio, ankaŭ nomata koordinata geometrio kaj pli frue nomata kartezia geometrio, estas studo de geometrio uzanta la principojn de algebro. Kutime la karteziaj koordinatoj estas aplikitaj por manipuli ekvaciojn por ebenoj, rektoj, kurboj, cirkloj, en du, tri kaj iam en pli multaj dimensioj. Kiel instruite en lernejaj libroj, analitika geometrio povas esti eksplikita pli simple: ĝi okupiĝas pri difinado de geometriaj formoj en nombra vojo, kaj ekstraktante nombran informon de tiu prezento. La nombra elaĵo, tamen, povus ankaŭ esti vektoroformo. Iuj konsideras, ke la enkonduko de analitika geometrio estis la komenco de moderna matematiko.

Rene Descartes estas populare estimita kiel prezentinto de la fundamento por la metodoj de analitika geometrio en 1637 en apendico titolita Geometrio de verko titolita Traktato pri la metodo de ĝusta konduto de la kaŭzo en la serĉo por vero en la sciencoj, kutime mallongigita kiel Traktato pri metodo. Ĉi tiu verko, skribita en lia denaska lingvo franca lingvo, kaj ĝia filozofiaj principoj provizis la fundamenton por kalkulo en Eŭropo.

Gravaj temoj de analitika geometrio[redakti | redakti fonton]

Multaj el ĉi tiuj problemoj engaĝas linearan algebron

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Jen ekzemplo de problemo de la USAMTS, kiu povas esti solvita per analitika geometrio:

Problemo: En konveksa kvinlatero ABCDE, la lateroj havas longojn 1, 2, 3, 4 kaj 5, kvankam ne bezone en tiu ordo). Estu F, G, H, kaj I esti la mezpunktoj de la lateroj AB, BC, CD, kaj DE, respektive. Estu X esti la mezpunkto de segmento FH, kaj Y esti la mezpunkto de segmento GI. La longo de segmento XY estas entjero. Trovi ĉiujn eblajn valorojn por la longo de AE.

Solvaĵo: Estu A, B, C, D, kaj E troviĝi je A(0,0), B(a,0), C(b,e), D(c,f), kaj E(d,g).

Laŭ la mezpunkta formulo, la punktoj F, G, H, I, X, kaj Y situas je

F\left(\frac{a}{2},0\right), G\left(\frac{a+b}{2},\frac{e}{2}\right), H\left(\frac{b+c}{2},\frac{e+f}{2}\right), I\left(\frac{c+d}{2},\frac{f+g}{2}\right), X\left(\frac{a+b+c}{4},\frac{e+f}{4}\right), kaj Y\left(\frac{a+b+c+d}{4},\frac{e+f+g}{4}\right)

Uzanta la distancan formulon,

AE=\sqrt{d^2+g^2}

kaj

XY=\sqrt{\frac{d^2}{16}+\frac{g^2}{16}}=\frac{\sqrt{d^2+g^2}}{4}

Pro tio ke longo de XY estas entjero,

AE\equiv 0\pmod{4}

(vidu en modula aritmetiko), do AE=4.

Aliaj uzoj[redakti | redakti fonton]

Analitika geometrio, por algebra geometrio, estas ankaŭ la nomo por la teorio de (reela aŭ) kompleksaj duktoj kaj la pli ĝeneralaj analitikaj spacoj difinitaj kiel lokoj de nuloj (nuligejoj) de analitikaj funkcioj de kelkaj kompleksaj variabloj (aŭ iam reelaj). Ĝi estas proksime ligita al algebra geometrio. Ĝi estas severe pli granda areo ol algebra geometrio, sed studata per similaj manieroj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]