Aritmetika vico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, aritmetika vicoaritmetika progresio estas unu el specoj de progresio. Aritmetika vico estas vico de nombroj tia ke la diferenco de ĉiuj du najbaraj membroj de la vico estas konstanto. Ekzemple, la vico 3, 5, 7, 9, 11, ... estas aritmetika vico kun komuna diferenco 2.

Se la komenca membro de aritmetika vico estas a_1 kaj la komuna diferenco de najbaraj membroj estas d, do la n-a membro, de la vico estas:

a_n = a_1 + (n - 1)d.

Sumo de aritmetika serio[redakti | redakti fonton]

Sumo de malfinia aritmetika vico se a1 ne egalas al 0 aŭ d ne egalas al 0 estas malfinio.

La sumo de komponantoj de aritmetika vico estas nomata kiel aritmetika serio. La formulo por sumo) de la unuaj n membroj de aritmetika vico estas:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.
Konsideru vicon tiel ke la ĝenerala termo de la aritmetika progreso estas an = 5n, kie n estas malpara entjero. La sumo de ĉiuj termoj, kaj la sumo de termoj simetriaj rilate al la meza, egalas al la duoblo de la meztermo.

Ĉi tiu formulo sekvas el la fakto ke sumo de la unua kaj la lasta membro estas la sama kiel sumo de la dua kaj la antaŭlasta, kaj tiel plu. Oni ofte diras ke ĉi tiu formulo estis esplorita de Carl Friedrich Gauss kiam lia instruisto de la tria jaro de mezlernejo petis la klason trovi sumon de la unua 100 naturaj nombroj, kaj li tuj kalkulis la respondon 5050.


Produto[redakti | redakti fonton]

La produto de komponantoj de aritmetika vico kun komenca ero a_1, komuna distanco d, kaj n eroj entute, estas:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },

kie x^{\overline{n}} estas la pligrandiĝanta faktorialo kaj \Gamma estas la Γ funkcio. Noto ke la formulo estas ne valida se a_1/d estas negativa entjero aŭ nulo.

Ĉi tio estas ĝeneraligo de tio ke produkto de la progresio 1 \times 2 \times \ldots \times n estas donita per la faktorialo n! kaj ke produto

m \times (m+1) \times \ldots \times (n-1) \times n \,\!

por pozitivaj entjeroj m kaj n estas

\frac{n!}{(m-1)!}.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]