Aro de Smith-Volterra-Cantor

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Post nigraj intervaloj estas forprenitaj, la blankaj punktoj kiuj restas formas nenie densan aron de mezuro 1/2.

En matematiko, la aro de Smith-Volterra-Cantor (SVC) aŭ la grasa aro de Cantor estas ekzemplo de aro de punktoj de la reela linio R kiu estas nenie densa (ĝi ne enhavas iun intervalon), sed havas pozitivan mezuron.

La aro de Smith-Volterra-Cantor estas nomita post Henry John Stephen Smith, Vito Volterra kaj Georg Cantor.

Konstruado[redakti | redakti fonton]

Simile al la konstruado de la aro de Cantor, la aro de Smith-Volterra-Cantor estas konstruita per forprenado de certaj intervaloj el la unuobla intervalo [0, 1].

La procezo komenciĝas kun la unu intervalo [0, 1]. Dum ĉiu n-a paŝo, n=1, 2, 3, ..., okazas forprenado de subintervaloj de longo 1/22n de la mezo de ĉiu el la 2n-1 restantaj intervaloj. Daŭrante malfinie kun ĉi tiu forigado, la aro de Smith-Volterra-Cantor estas la aro de punktoj kiuj estas neniam forprenitaj.

Dum la unua paŝo de procezo okazas forprenado de la meza 1/4 el la intervalo [0, 1] (la samo kiel forprenado de 1/8 de ĉiu flanko de la meza punkto je 1/2) tiel la restanta aro estas

\left[0, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, 1\right]

Dum la dua paŝo la intervaloj (5/32, 7/32) kaj (25/32, 27/32) estas forprenataj, lasante aron

\left[0, \frac{5}{32}\right] \cup \left[\frac{7}{32}, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, \frac{25}{32}\right] \cup \left[\frac{27}{32}, 1\right]

La bildo montras la komencan aron kaj 5 paŝojn de ĉi tiu procezo.

Smith-Volterra-Cantor set.svg

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Per konstruado, la aro de Smith-Volterra-Cantor ne enhavas intervalojn. Dum la procezo, intervaloj de tuteca longo

 \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1}(1/2^{2n}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{1}{2}

estas forprenitaj el [0, 1], montrante ke la aro de la restantaj punktoj havas pozitivan mezuron de 1/2.

Aliaj grasaj aroj de Cantor[redakti | redakti fonton]

Ĝenerale, oni povas forpreni parton de iu longo rn el ĉiu restanta subintervalo je la n-a paŝo de la algoritmo, kaj finiĝi kun simila aro. La rezultanta aro havas pozitivan mezuron se kaj nur se la sumo de la vico

 \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1}r_n

estas malpli granda ol la mezuro de la komenca intervalo.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

  • La aro de Smith-Volterra-Cantor estas uzata en la konstruado de funkcio de Volterra
  • La aro de Smith-Volterra-Cantor estas ekzemplo de kompakta aro kiu estas ne jordane mezurebla.
  • La nadla funkcio de la aro de Smith-Volterra-Cantor estas ekzemplo de barita funkcia kiu estas ne rimane integralebla sur (0,1) kaj ankaŭ estas ne egala preskaŭ ĉie al rimane integralebla funkcio.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]