Banaĥa limigo

En analitiko, banaĥa limigo estas kontinua lineara funkcio $\phi :\ell _{\infty }\to \mathbb {R}$ difinita sur la banaĥa spaco $\ell _{\infty }$ de ĉiuj baritaj komplekso-valoraj vicoj tiaj ke por ĉiuj du vicoj x=(x_n) kaj y=(y_n) jenaj kondiĉoj estas kontentigitaj:

• $\phi (c.x+d.y)=c.\phi (x)+d.\phi (y)$ (lineareco);
• Se $x\geq 0$, tiam $\phi (x)\geq 0$;
• $\phi (x)=\phi (S(x))$, kie S estas la ŝova operatoro difinita kiel $(S(x))_{n}=x_{n+1}$.
• Se x estas konverĝa vico, tiam $\phi (x)=\lim x$, (banaĥa limigo egalas al la kutima limigo se la lasta ekzistas).

En aliaj vortoj, banaĥa limigo etendas la kutiman limigon, kiu estas ŝovo-invarianta kaj pozitiva. Tamen, ekzistas vicoj por kiu estas pli ol unu banaĥaj limigoj kies la valoroj malsamas; la banaĥa limigo estas ne unike difinita en ĉi tia okazo.

Ĝenerale kiel la banaĥa limigo estas nomata ajna funkcio $\phi :\ell _{\infty }\to \mathbb {R}$ kontentiganta la kondiĉojn. Valoroj de ĉiuj banaĥaj limigoj koincidas ĉe iuj argumentoj (vicoj), ĉe la aliaj argumentoj ili povas esti malsamaj.

La ekzisto de banaĥaj limigoj estas kutime pruvata per la hahn-banaĥa teoremo (analizista maniero) aŭ per ultrafiltriloj (ĉi tiu maniero estas pli ofta en aroteorio). Notindas ke ĉi tiuj pruvoj uzas aksiomon de elekto, tiel ili estas ne-efikaj pruvoj.

Preskaŭ konverĝo

Ĉu konverĝa vico havas unike difinitan banaĥan limigon.

Tamen ankaŭ iuj nekonverĝaj vicoj havas unike difinitan banaĥan limigojn. Ekzemple, se x=(1, 0, 1, 0, ...), tiam x+S(x)=(1, 1, 1, 1, ...) estas konstanta vico kies limigo estas 1, tiel $\phi (x+S(x))=1$ kaj ankaŭ $\phi (x+S(x))=\phi (x)+\phi (S(x))=2\phi (x)$. Tiel por ĉi tiu vico ĉiu banaĥa limigo havas valoron $\phi (x)=1/2$.

Vico x kun la propraĵo ke por ĉiu banaĥa limigo $\phi$ la valoro $\phi (x)$ estas la sama estas nomata kiel preskaŭ konverĝa.

Eksteraj ligiloj

• Banaĥa limigo en PlanetMath.