Bona ordo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, bona ordo sur aro S estas ordo-rilato sur S kun la propraĵo ke ĉiu ne-malplena subaro de S havas plej malgrandan elementon laŭ ĉi tiu ordo. La aro S kaj ankaŭ la bona ordo estas tiam kune nomataj kiel bonorda aro. Bona ordo estas bezone tuteca ordo.

Malglate parolante, bonorda aro estas ordita en tia maniero ke elementoj povas esti konsiderataj unuope, en ordo, kaj ĉiumomente ne necesas ekzameni ĉiujn elementojn, ĉiam estas unika venonta elemento por konsideri. En bonorda aro senfina malkreskanta vico ne povas ekzisti.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

  • La norma ordo ≤ de la naturaj nombroj estas bona ordo.
  • La norma ordo ≤ de la plenaj nombroj ne estas bona ordo, ĉar, ekzemple, la aro de negativaj plenaj nombroj ne enhavas plej malgrandan elementon.
  • Jena duargumenta rilato R estas bona ordo de la plenaj nombroj: x R y se kaj nur se unu el jenaj kondiĉoj validas:
x = 0
x estas pozitiva, kaj y estas negativa
x kaj y estas ambaŭ pozitivaj, kaj xy
x kaj y estas ambaŭ negativaj, kaj yx
R povas esti bildigita jene:
0 1 2 3 4 ..... -1 -2 -3 .....
R estas izomorfia al la ordonombro ω + ω.
  • Alia rilato por bona ordigo de plenaj nombroj estas difinata jene: x <z y se kaj nur se |x| < |y| aŭ (|x| = |y| kaj x ≤ y).

Ĉi tiu bona ordo povas esti bildigita kiel sekvas:

0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 ...
  • La normo ordigo ≤ de la pozitivaj reelaj nombroj ne estas bona ordo, ĉar, ekzemple, la malfermita intervalo (0, 1) ne enhavas plej malgrandan eron. Ekzistas pruvoj dependantaj de la aksiomo de elekto ke eblas bone ordigi la reelajn nombrojn, sed ĉi tiuj pruvoj estas ne-konstruaj kaj ankoraŭ ne estas montrita maniero bone ordigi la reelajn nombrojn.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

En bonorda aro, ĉiu ero x, se ĝi ne estas la entute plej granda, havas unikan postanto y, kiu estas la plej malgranda elemento y kiu estas pli granda ol x. Tamen, ne ĉiu elemento nepre havas antaŭanton. Kiel ekzemplo, konsideru bonan ordigon de plenaj nombroj kiel 0 1 2 3 4 ..... -1 -2 -3 ..... (vidu supre). Ĉiu elemento havas postanton (ne estas plej granda elemento), sed ĉe du elementoj mankas antaŭanto: 0 kaj -1.

Se aro estas bonorda, la pruva tekniko de transfinia indukto povas esti uzata por pruvi ke iu taŭga donita frazo estas vera por ĉiuj eroj de la aro.

La bonorda teoremo, kiu estas ekvivalenta al la aksiomo de elekto, asertas ke ĉiu aro povas esti bone ordigita. La bonorda teoremo estas ankaŭ ekvivalenta al la lemo de Zorn.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]