CW-komplekso

En topologio, CW-komplekso estas tipo de topologia spaco prezentita de J.H.C. Whitehead por kontentigi la bezonojn de homotopeca teorio. La ideo estis havi klason de spacoj, kiuj estas pli larĝaj ol simplaĵaj kompleksoj (ni povus diri nun, havas pli bonajn kategoriajn propraĵojn); sed ankoraŭ retenas kombinan naturon, tiel ke komputaj konsideroj estas ne ignoritaj. La nomo mem estas priskribanta: "CW" staras por fermaĵo-finia malforta topologio: "C" estas de la angla "closure-finite" - fermaĵo-finia, kaj "W" estas de la angla "weak topology" - malforta topologio.

Por ĉi tiuj celoj fermita ĉelo estas topologia spaco homeomorfa al simplaĵo, aŭ egale pilko (sfero plus eno) aŭ kubo en n dimensioj. Nur la topologia naturo gravas: sed oni ja bezonas konservi trakon de la subspaco sur la 'surfaco' (la sfero, kiu baras la pilkon, kaj ĝia komplemento, la enaj punktoj. Ĝenerala ĉela komplekso devus esti topologia spaco X kiu estas kovrita per ĉeloj; aŭ aliesprime, ni startu kun spaco kiu estas la disa unio de iu kolekto de ĉeloj, kaj prenu X kiel kvocienta spaco, por iu ekvivalentrilato. Ĉi tiu estas ankaŭ ĝenerala koncepto.

Alfiksantaj ĉeloj

Ĉelo estas alfiksita per glui fermitan n-dimensian pilkon Dⁿ al la (n−1)-skeleto X_n−1, kio estas, la unio de ĉiuj subaj dimensiaj ĉeloj. La gluado estas precizigita per kontinua funkcio f de ∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹ al X_n−1. La punktoj sur la nova spaco estas ĝuste la ekvivalento-klasoj de punktoj en la disa unio de la malnova spaco kaj la fermita ĉelo Dⁿ, la ekvivalentrilato estas la transitiva fermaĵo de x ≡ f(x). La funkcio f ludas esencan rolon (determinante, difinante) la naturon de la nove pligrandigita komplekso. Ekzemple, se D² estas gluita sur S¹ en la kutima maniero, ni prenu D² sin; se f havas (ventanta, bobenanta, kurba)n nombron 2, ni prenu la reelan projekcian ebenon anstataŭe.

CW kompleksoj estas difinitaj indukte

Alprenu, ke X estas hausdorff-a spaco: por la celoj de homotopeca teorio ĉi tio perdigas nenion gravan. Tiam ĉar fermitaj ĉeloj estas kompaktaj spacoj, ni povas esti certaj, ke iliaj bildoj en X estas ankaŭ kompaktaj, fermitaj subspacoj. De nun, ni nomu 'fermitaj ĉeloj', kaj 'malfermitaj ĉeloj', subspacojn de X, la malfermita ĉelo estas la bildo de la aparta eno.

0-ĉelo estas sola punkto; se ni nur havas 0-ĉelajn konstruaĵojn de hausdorff-a spaco, ĝi devas esti diskreta spaco. La ĝenerala CW-kompleksa difino povas procedi per indukto, uzanta ĉi tion kiel la baza kazo.

La unua limigo estas la fermaĵo-finia: ĉiu fermita ĉelo devus esti kovrita per finia unio de malfermitaj ĉeloj.

La alia limigo rilatas al la ebleco havi malfinie multajn ĉelojn, de nebarita dimensio. La spaco X estos prezentita kiel limigo de subspacoj X_i por i = 0, 1, 2, 3, … . Kiel ni konkludu topologian strukturon por X? Ĉi tio estas kunlimeso en terminoj de teorio de kategorioj. De la kontunueco de ĉiu surĵeto X_i al X, fermita aro en X devas havi fermitan inversan bildon en ĉiu X_i, kaj do devas sekci ĉiun fermitan ĉelon en fermitan subaron. Ni povas ĉirkaŭiri ĉi tion, kaj postuli, ke subaro C ⊂ X estas per difino fermita precize kiam la komunaĵo de C kun la fermitaj ĉeloj en X estas ĉiam fermitaj. Ĉi tiu rendimento la malforta topologio sur X.

Kun ĉiuj tiuj provizoraĵoj, la difino de CW-komplekso estas tiamaniere: por donita X₀ diskreta spaco, kaj indukte konstruitaj subspacoj X_i ricevitaj de X_i−1 per alfiksi iun kolekton de i-ĉeloj, la rezultanta kunlimesa spaco X estas nomata kiel CW-komplekso provizite ke ĝi estas donita la malforta topologio, kaj la fermaĵo-finia kondiĉo estas kontentigita por ĝiaj fermitaj ĉeloj.

'La' homotopeca kategorio

La ideo de homotopeca kategorio estas startita kun topologia spaca kategorio, kio estas, tiu en kiu objektoj estas topologiaj spacoj kaj strukturkonservantaj transformoj estas kontinuaj surĵetoj, kaj abstrakte anstataŭigi la arojn Hom(X, Y) de strukturkonservantaj transformoj per aroj de ekvivalento-klasoj Hot(X, Y) kiuj estas difinita per la homotopeca rilato. Do, la objektoj restas la samaj; sed la strukturkonservantaj transformoj estas kolektitaj en kolektojn. Sub favoraj kondiĉoj Hom(X, Y) estas mem funkcia spaco kaj la proceduro estas preni ĝian aron de komponantoj sub vojo-ligo kiel pli simpla versio: ĉi tio provizas la intuician bildon.

La homotopeca kategorio de CW-kompleksoj estas, en la opinio de iuj kompetentuloj, la plej bona se ne la nura kandidato por la homotopeca kategorio. Fakte, por teknika 'administra' kaŭza homotopeca kategorio devas konservi trako de bazaj punktoj en ĉiu spaco: ekzemple la fundamenta grupo de koneksa spaco estas, pozitive parolante, dependa de la baza punkto elektita. Topologia spaco kun aparta baza punkto estas nomata kiel punktita spaco. La bezono uzi bazajn punktojn havas gravan efikon sur la produtoj (kaj aliaj limigoj) adekvata uzi. Ekzemple, en homotopeca teorio, la disbata produto X ∧ Y de spacoj X kaj Y estas uzata.

Plejparte la celo de homotopeca teorio estas priskribi la homotopecan kategorion; fakte montriĝas, ke kalkuli Hot(X, Y) estas peze, kiel ĝenerala problemo, kaj multa peno estas jam dediĉita al la plej interesaj kazoj, ekzemple kie X kaj Y estas sferoj (la homotopecaj grupoj de sferoj).

Helpaj konstruoj, kiuj liveras spacojn, kiuj estas ne CW-kompleksoj devas esti uzataj foje, sed poat duono de jarcento ekde kiam Whitehead lasis ĉi tiun difinon de homotopeca kategorio en bona formo. Unu baza rezulto estas, ke, la prezenteblaj funktoroj sur la homotopeca kategorio havas simplan karakterizadon (la prezentebleca teoremo de Brown).

Unu grava posta evoluo estas tiu de spektroj en homotopeca teorio, esence la derivita kategoria ideo en formo utila por topologiistoj. Spektroj ankaŭ estas difinitaj en diversaj okazoj uzante la modelan kategorian metodon, ĝeneraligantan la topologian kazon. Multaj teoriistoj interesiĝantaj en la klasika topologia teorio konsideras ĉi tiun pli aksioman metodon malpli utilan por siaj celoj. Trovado de bonaj anstataŭoj por CW-kompleksoj en la pure algebra okazo estas subjekto de aktuala esploro.

Propraĵoj

• La produto de du CW-kompleksoj X kaj Y estas mem CW komplekso se almenaŭ unu el ili estas loke finia kio estas ke ĝi havas finian kvanton de ĉeloj en ĉiu dimensio.

• La funkciaj spacoj Hom(X,Y) estas ne CW-kompleksoj ĝenerale sed estas homotopaj al CW-kompleksoj laŭ teoremo de John Milnor (1958). Reelaj funkciaj spacoj okazas en la iu pli granda kategorio de kompakte generitaj hausdorff-aj spacoj.

Referencoj

• Hatcher, Allen, Algebra topologio, Kembriĝa Universitata Premo (2002). ISBN 0-521-79540-0. Ĉi tiu lernolibro difinas CW-kompleksojn en la unua ĉapitro kaj uzas ilin entute; inkluzivas apendicon pri la topologio de CW-kompleksoj. Libera elektronika versio estas havebla ĉe la aŭtora hejmpaĝo.