Derivaĵo (ekzemploj)

Por fono pli la temo, vidu artikolon derivaĵo (matematiko).

---

Ekzemplo 1

Estu f(x) = 5:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{5-5}{h} = 0$

La derivaĵo de konstanta funkcio estas nulo.

Ekzemplo 2

Konsideru grafikaĵon de $f(x)=2x-3$. Per algebro kaj la karteziaj koordinatoj, eblas difini ke ĉi tiu linio havas inklinon 2 je ĉiu punkto. Uzante la pli supran rilatumon oni povas difini la inklinon je (4,5):

$f'(4)\,$	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+2h-3-8+3}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2$

kaj vere la derivaĵo kaj inklino estas ekvivalento.

Ekzemplo 3

Tra diferencialado, oni povas trovi inklinon de kurbo. Estu $f(x)=x^2$:

$f'(x)\,$	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x$

Por ĉiu punkto x, la inklino de la funkcio $f(x)=x^2$ estas $f'(x)=2x$.

Ekzemplo 4

Estu f(x) = √x:

$f'(x)\,$	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$
	$= \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Ekzemplo 5

La sama funkcio kiel en la antaŭa ekzemplo, sed nun oni serĉu derivaĵon de la derivaĵo.
Estu f(x) = √x:

$f''(x)\,$	$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{h}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{2 \sqrt{x+h}}{2 \sqrt{x}}}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{x}{\sqrt{x} \sqrt{x+h}}-\frac{x+h}{\sqrt{x} \sqrt{x+h}}}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{-h}{\sqrt{x} \sqrt{x+h}}}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{\sqrt{x} \sqrt{x+h} (2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}$
	$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{2 \sqrt{x} (x+h) + 2 x \sqrt{x+h}}$
	$= \frac{-1}{4 x \sqrt{x}}$