Dua parta derivaĵa provo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, la dua parta derivaĵa provo estas maniero en multvariebla kalkulo por kontroli ĉu krita punkto (x, y) estas loka minimumo, loka maksimumosela punkto.

Estu f(x ,y) reela funkcio de du reelaj argumentoj. Estu (a, b) sojla punkto de la funkcio, do punkto kie la unuaj partaj derivaĵoj estas nulaj:

 \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}|_{x=a, y=b} = 0
 \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}|_{x=a, y=b} = 0

Tiam la matrico de Hessian estas de amplekso 2×2 kaj ĝia determinanto en la punkto estas

 M = ( \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2}\frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x\partial y})^2)  |_{x=a, y=b} = 0

Tiam:

  • Se M>0 kaj  \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} |_{x=a, y=b} > 0 do (a, b) estas loka minimumo.
  • Se M>0 kaj  \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} |_{x=a, y=b} < 0 do (a, b) estas loka maksimumo.
  • Se M<0 tiam (a, b) estas sela punkto.
  • Se M=0 tiam la dua derivaĵa provo ne donas la respondon.

La variabloj x kaj y estas egalrajtaj, tiel la kondiĉoj de loka minimumo kaj loka maksimumo povas esti ekvivalente reskribitaj kun uzo de la dua derivaĵo je variablo y sed ne je x:

  • Se M>0 kaj  \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} |_{x=a, y=b} > 0 do (a, b) estas loka minimumo.
  • Se M>0 kaj  \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} |_{x=a, y=b} < 0 do (a, b) estas loka maksimumo.