Ekvacio de Ĉebiŝev

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Ekvacio de Ĉebiŝev estas lineara ordinara diferenciala ekvacio de la dua ordo

(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0

kie p estas reela konstanto. La ekvacio estas nomita post rusia matematikisto Pafnutij Ĉebiŝov.

La solvaĵoj estas ricevita per potencoserio:

y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n

kie la koeficientoj obeas la rikuran formulon

 a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n

Ĉi tiu serio konverĝas por x en [-1, 1], kio povas vidiĝi per apliko de la rilatuma provo al la rikura rormulo.

La rikuro povas esti startita kun ajnaj valoroj de a0 kaj a1, donante la du-dimensian spacon de solvaĵoj, kio estas pro la dua ordo de la diferenciala ekvacio. Estas du sendependaj solvaĵoj kiuj estas serioj por la valoroj de a0 kaj a1:

a0 = 1 ; a1 = 0
F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots
a0 = 0 ; a1 = 1
G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots

La ĝenerala solvaĵo estas ĉiu lineara kombinaĵo de ĉi tiuj du.

Se p estas entjero, unu aŭ la alia el la du funkcioj havas sian serion finitan post finia kvanto de termoj: F finias se p estas para, kaj G finias se p estas nepara.

En ĉi tiu okazo, tiu funkcio kiu estas polinomo de p-a grado (konverĝanta ĉie), kaj ĉi tiu polinomo estas proporcia kun la p-a polinomo de Ĉebiŝev.