Ekvacioj de Cauchy-Riemann

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En kompleksa analitiko, la ekvacioj de Cauchy-Riemann (aŭ Koŝio-rimanaj ekvacioj), omaĝe al Augustin Louis Cauchy kaj Bernhard Riemann, estas du ekvacioj en partaj derivaĵoj, bazataj sur analizo de kompleksa funkcio, kiu estas difinita kaj derivebla en ĉiu punkto de malfermita subaro de la kompleksa ebeno  U, kun valoroj en la kompleksa ebeno  \mathbb{{C}} (alidirite, kiu estas holomorfa funkcio). Plie, la du ekvacioj estas necesaj kaj sufiĉaj kondiĉoj de diferencialebleco de kompleksa funkcio, se ambaŭ reela kaj imaginara partoj estas diferencialeblaj reelaj funkcioj de du variabloj. Diferencialebla reela funkcio estas ankaŭ derivebla, sed la samo ne veras por kompleksaj funkcioj. La ekvacioj de Cauchy-Riemann estas la aldonendaj kondiĉoj, por ke derivebla kompleksa funkcio estu diferenicalebla kun la sama senso ol por reelaj funkcioj. Se la ekvacioj de Cauchy-Riemann veras, oni povas montri, por holomorfa funkcio f, ke ambaŭ ĝia reela parto kaj ĝia imaginara parto estas harmonaj funkcioj.

Tia sistemo de ekvacioj unue aperis en la laboro de Jean le Rond d'Alembert en 1752 [1]. Poste en 1814, Augustin Cauchy uzis tiajn ekvaciojn [2] por bildigi sian teorion pri funkcioj; kaj ili aperis en disertaĵo de Bernhard Riemann [3] en 1851 .

Estu kompleksa funkcio f(z) (kun z=x+iy), kiu povas esti diserigita en sumo de du reelaj funkcioj u kaj v tiel, ke

f(z)=f(x,y)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \  ,

plie tiu funkcio f(z) estas derivebla en iu punkto z_0=x_0+iy_0, kaj sekvas la kondiĉojn de Cauchy-Riemann:

(1a): u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)
(1b): v_x(x_0,y_0)=-u_y(x_0,y_0)

kie u_x estas la parta derivaĵo de la difrencialabla funkcio u rilate al la variablo x, alie simbolita per \frac{\partial u}{\partial x}. La sama difino validas por u_y, v_x kaj v_y.

Se, pri tia funkcio, ekzistas limo (finia)

f'(z_0) = \lim_{h \to 0,\, h\, \in\, \mathbb{C}^*} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \ ,

oni nomas ĝin la derivajo de f en z_0, tial sekvas ke:

f '(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0) \ .

Demonstro[redakti | redakti fonton]

Konsideru ni iun funkcion f(z) de kompleksa variablo z:

f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) \  ,

kiu estas derivebla en iu punkto z_0\in\mathbb{C}\,:\,z_0=(x_0,y_0)=x_0+i\,y_0, do konsekvence:

 \exists \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{\Delta z} = \lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} \frac{u(x,y)+i\,v(x,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y-y_0)}.

Pro tio, ke la funkcio estas derivebla, la valoro de la derivaĵo devas esti la samo laŭ iu ajn vojo kiu konverĝas al z_0. Aparte, la rezultoj de la kalkuloj ĉu laŭ y=y_0, ĉu laŭ x=x_0 devas esti egalaj [4], tio estas:

1) 
f'(z_0)=\lim_{(x,y_0)\rightarrow(x_0,y_0)}\frac{u(x,y_0)+i\,v(x,y_0)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y_0-y_0)}=
=\lim_{(x,y_0)\rightarrow(x_0,y_0)}\frac{u(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}+i\,\lim_{(x,y_0)\rightarrow(x_0,y_0)}\frac{v(x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\Delta x}=
= u_x(x_0,y_0)+i\,v_x(x_0,y_0) \  ;
2) 
f'(z_0)=\lim_{(x_0,y)\rightarrow(x_0,y_0)}\frac{u(x_0,y)+i\,v(x_0,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x_0-x_0)+i(y-y_0)}=
=\lim_{(x_0,y)\rightarrow(x_0,y_0)}\frac{u(x_0,y)-u(x_0,y_0)}{i\Delta y}+i\,\lim_{(x_0,y)\rightarrow(x_0,y_0)}\frac{v(x_0,y)-v(x_0,y_0)}{i\Delta y}=
= v_y(x_0,y_0)-i\,u_y(x_0,y_0) \  .

Se oni egalas la rezultojn 1) kaj 2), oni tuj deduktas la antaŭan formuladon de la derivaĵo de f(z) en z_0 , kaj ankaŭ la ekvaciojn de Cauchy-Riemann, per egaligo de la du esprimoj de la reela parto kaj de la imaginara parto por f'(z_0).

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

  • Konsideru ni la funkcion f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto \bar{z}, kiu estas difinita sur \mathbb{C}, ĝi estas diferencialeba nur sur \mathbb{R}; sed ĝi estas diferencialebla en neniu punkto pri la kompleksa ebeno \mathbb{C}, ĉar ĝi sekvas nenie la ekvaciojn de Cauchy-Riemann. Fakte, pro tio, ke \ f(z) = x -\, i\, y :
\ \frac{\partial f(z)}{\partial x} = 1 kaj \ \frac{\partial f(z)}{\partial y} = -i
do, por ĉiu \ z \in \mathbb{C}, \ \frac{\partial f(z)}{\partial y} \neq  i\ \frac{\partial f(z)}{\partial x} \ .

f(x+iy)=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i2xy \ ,

kies reela parto kaj imaginara parto estas u(x,y)=x^2-y^2 kaj v(x,y)=2xy respektive. Derivaĵoj rilatante al x kaj y tuj donas:

u_x=2x=v_y

kaj

u_y=-2y=-v_x.

La funkcio f(z)=z^2 estas do diferenciebla en la kompleksa ebeno \mathbb{C}.

Finfine verifu ni la kondiĉon pri la derivaĵoj. La derivaĵo de f skribiĝas tiel f'(z)=\frac{\mathrm d (z^2)}{\mathrm d z}=2z (la reguloj por derivi kompleksajn funkciojn kaj reelajn funkciojn similas), kaj rezultas:

f'(x+iy)=2(x+iy)=2x+i2y=u_x+iv_x=v_y-iu_y \ .

Aliaj esprimoj de la ekvacioj[redakti | redakti fonton]

Aliaj ekvivalentaj formoj por esprimi la kondiĉoj de Cauchy-Riemann estas sekvantaj:

f_x+if_y=0 \ ,

f_y + if_x=0 \ .


Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  1. Jean le Rond d'Alembert (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides (Eseo pri nova teorio de resisto de fluidoj) (Parizo). ISBN 0050021702. (france)
  2. Augustin Cauchy (1814). Mémoire sur les intégrales définies ( Memuaro pri difinitaj integraloj') (Parizo). Oeuvres complètes Ser. 1 Vol. No1 (319-506). (france)
  3. Bernhard Riemann (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse (Fundamentoj pri ĝenerala teorio de funkcioj de kompleksaj variabloj, kolekto de matematikaj laboroj de Riemann) (Dover). H. Weber, Vol. No1 (3-48). (germane)
  4. http://www.ima.umn.edu/~arnold/502.s97/ Complex analysis course web site (Kurso de kompleksa analitiko per TTT) de Douglas N. Arnold (angle)