Formulo de Herono

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Triangulo kun lateroj a, b, c.

En geometrio, formulo de Herono estas formulo kiu ligas areon A de triangulo kun longoj de ĝiaj lateroj a, b, c:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

kie s estas la duonperimetro de la triangulo:

s=\frac{a+b+c}{2}.

La formulo povas esti skribita ankaŭ kiel:

A={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}
A={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}\ \over 4}
A={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}.

Historio[redakti | redakti fonton]

La formulo estas skribita de al Herono de Aleksandrio, kaj pruvo troviĝas en lia libro, Metrica, skribita en proksimume 60. Estas sugesto ke Arkimedo sciis la formulon. Formula ekvivalento al Ardea nome:

A=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}

estis esplorita en la ĉinio sendepende de la grekoj. Ĝi estis publikigita en Shushu Jiuzhang (Matematika traktato en naŭ sekcioj), skribita de Qin Jiushao kaj publikigita en 1247.

Pruvo[redakti | redakti fonton]

Jen estas Moderna pruvo, kiu uzas algebron kaj trigonometrion kaj estas sufiĉe malsimila al tiu provizita Heron. Estu a, b, c longoj de la lateroj de la triangulo kaj A, B, C la anguloj kontraŭaj al tiuj lateroj. Tiam

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

laŭ la leĝo de kosinusoj. De ĉi tie:

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

La alto de la triangulo al bazo a havas longon b sin(C), kaj de ĉi tio

 A\, = \frac{1}{2} ab\sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}
= \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))}
= \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}
= \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)}
= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.

La faktorigo de diferenco de du kvadratoj estis uzita dufoje.

Cifereca stabileco[redakti | redakti fonton]

Formulo de Heron en sia klasika formo, donita pli supre, estas ciferece malstabila por trianguloj kun tre malgranda angulo. Ekzistas la stabila alternativo [1]. Antaŭ uzo de ĝi necesas ordigi la longoj de la lateroj tiel ke a≥b≥c. Tiam

 A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.

La krampoj en ĉi tiu formulo priskribas la ordon de la kalkulado kaj estas nepraj por malebligi ciferecan malstabilecon.

Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Formulo de Heron estas speciala okazo de formulo de Brahmagupta por areo de cikla kvarlatero; ambaŭ ili estas specialaj okazoj de formulo de Bretschneider por la areo de kvarlatero. En ambaŭ okazoj formulo de Heron estas ricevata per preno de longo de unu el la lateroj egala al nulo.

Formulo de Heron estas speciala okazo ankaŭ de formulo de areo de trapezo laŭ longoj de lateroj kaj estas ricevata per preno de longo de la pli malgranda paralela latero egala al nulo.

Formulo de Heron povas esti skribita kiel determinanto:

 A = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix}
 0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0 & 1 \\
 1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} }

kio videbligas ĝian similecon al formulo de Tartaglia por volumeno de kvaredro (3-dimensia simplaĵo).

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  1. http://http.cs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]