Formuloj de Kramero

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Formuloj de Kramero estas formuloj, kiuj donas rezulton de sistemo de n linearaj ekvacioj kun n variabloj.

\left\{\begin{matrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\
\vdots                                    &   & \vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n & = & b_n \\
\end{matrix}\right.

Ĉefa matrico estas (signifu A\, ):

A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots  & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots  & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots  & a_{nn}
\end{bmatrix}

Kaj A_i\, signifas matrico, kiu havas ŝanĝata i-koluno en libera valoroj.

A_1=\begin{bmatrix}
b_{1} & a_{12} & a_{13} & \dots  & a_{1n} \\
b_{2} & a_{22} & a_{23} & \dots  & a_{2n} \\
b_{3} & a_{32} & a_{33} & \dots  & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
b_{n} & a_{n2} & a_{n3} & \dots  & a_{nn}
\end{bmatrix}


A_2=\begin{bmatrix}
a_{11} & b_{1} & a_{13} & \dots  & a_{1n} \\
a_{21} & b_{2} & a_{23} & \dots  & a_{2n} \\
a_{31} & b_{3} & a_{33} & \dots  & a_{3n} \\
\vdots  & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
a_{n1} & b_{n} & a_{n3} & \dots  & a_{nn}
\end{bmatrix}


\vdots


A_n=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots  & a_{1,n-1} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & \dots  & a_{2,n-1} & b_{2} \\
a_{31} & a_{32} & \dots  & a_{3,n-1} & b_{3} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots  \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots  & a_{n,n-1} & b_{n}
\end{bmatrix}

Tiam rezulto de sistemo estas:

x_1=\frac{\det A_1}{\det A} ,\;\; x_2=\frac{\det A_2}{\det A} ,\;\; \ldots ,\;\; x_n=\frac{\det A_n}{\det A}.

Ecoj[redakti | redakti fonton]

  • Se determinanto de matrico A\, estas alia ol zero \quad\det(A)\ne 0, tiam sistemo havas nur unu rezulton.