Fundamenta teoremo de aritmetiko
En matematiko, kaj en aparta nombroteorio, la fundamenta teoremo de aritmetiko aŭ unika faktoriga teoremo estas la propozicio ke ĉiu natura nombro pli granda ol 1 estas ĉu primo aŭ povas esti skribita kiel produto de primoj. Plue ĉi tiu faktorigo estas unika krom la ordo de faktoroj. Ekzemple:
- 6936 = 23·3·172
- 1200 = 24·3·52
kaj ne ekzistas la aliaj faktorigoj de 6936 aŭ 1200 en primojn, se oni ignoras la ordon de la faktoroj.
Por fari ke la teorema laboru ankaŭ por la nombro 1, oni povas opinii ke 1 estas produto de nula kvanto da primoj (malplena produto).
Aplikoj
La teoremo montras la gravecon de primoj. La primoj estas la bazaj konstruaj blokoj de la pozitivaj entjeroj, en la senco ke ĉiu pozitiva entjero povas esti konstruita el primoj, kaj estas esence nur unu ĉi tia konstruado.
Scio la prima faktorigo de nombro donas plenan scion pri ĉiuj primaj kaj ne-primaj divizoroj de la nombro.
Ekzemple, la pli supre donita faktorigo de 6936 donas ke ĉiu pozitiva dividanto de 6936 devas havas la formon 2a·3b·17c, kie a povas esti iu ajn unu el la 4 valoroj el {0, 1, 2, 3}, b povas esti iu ajn unu el la 2 valoroj el {0, 1}, kaj kie c povas esti iu ajn unu el la 3 valoroj el {0, 1, 2}. Multiplikado la kvantoj de la valoroj inter si kune donas la tutecan kvanton de pozitivaj divizoroj 4·2·3 = 24.
Se la primaj faktorigoj de du nombroj estas sciata, iliaj plej granda komuna divizoro kaj plej malgranda komuna oblo povas esti trovitaj. Ekzemple, de la pli supra ekzemplo oni vidas ke la plej granda komuna divizoro de 6936 kaj 1200 estas 23·3 = 24. Tamen la uzo de la eŭklida algoritmo por kalkulado de la plej granda komuna divizoro ĝenerale postulas multa malpli grandan kvanton de kalkuladoj ol faktorigo de la du nombroj.
La fundamenta teoremo certiĝas ke alsuma kaj multiplikaj aritmetikaj funkcioj estas plene difinitaj per ilia valoroj ĉe la potencoj de primoj.
Pruvo
La teoremo estis esence unue pruvita de Eŭklido, sed la unua plena kaj ĝusta pruvo estas en la Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauß.
Kvankam unuavide ĝi aspektas kiel evidenta, ĝi ne veras en pli ĝeneralaj nombrosistemoj, inkluzivante multajn ringojn de algebraj entjeroj. Ĉi tiu estis unua notita de Ernst Kummer en 1843, en lia laboro pri la lasta teoremo de Fermat. La ekkono de ĉi tiu malsukceso estas unu el la plej fruaj rezultoj en algebra nombroteorio.
La pruvo konsistas el du partoj: unue, oni devas montri ke ĉiu nombro povas esti skrabata kiel produto de primoj; due oni devas montri ke ĉiuj du ĉi tiaj prezentoj estas esence la samaj.
Supozu ke ekzistas pozitiva entjero kiu ne povas esti skribata kiel produto de primoj. Tiam tie devas esti la plej malgranda ĉi tia nombro; estu ĝi n. Ĉi tiu nombro n ne povas esti 1, pro la konvencio pli supre. Ĝi ne povas esti primo, pro tio ke ĉiu primo estas produto de sola primo, ĝi mem. Tiel ĝi devas esti komponigita nombro. Tial
- n = ab
kie ambaŭ a kaj b estas pozitivaj entjeroj pli malgrandaj ol n. Pro tio ke n estis la plej malgranda nombro por kiu la teoremo malveras, ambaŭ a kaj b povas esti skribitaj kiel produtoj de primoj. Sed tiam
- n = ab
povas esti skribita kiel produto de primoj same bone, kio estas kontraŭdiro. Ĉi tio estas minimuma kontraŭekzempla argumento.
La unikecoparto de la pruvo baziĝas sur jena fakto: se primo p dividas produton ab, tiam ĝi dividas a aŭ ĝi dividas b (la eŭklida lemo). La pruvo de ĝi estas jena. Se p ne dividas a, tiam p kaj a estas interprimoj kaj idento de Bézout donas entjerojn x kaj y tiajn ke
- px + ay = 1
Multiplikante per b ambaŭ flankojn rezultas
- pbx + aby = b
kaj pro tio ke ambaŭ termoj maldekstre estas divideblaj per p, la dekstra flanko estas ankaŭ dividebla per p, kio estas la pruvata afero.
Nun prenu du produtojn de primoj kiuj estas egalaj. Prenu ĉiun primon p de la unua produto. Ĝi dividas la unuan produton, kaj de ĉi tie ankaŭ la duan. Per la pli supra lemo, p devas tiam dividi almenaŭ unu faktoron en la dua produto. Sed la faktoroj estas mem ĉiuj primoj sin, tiel p devas reale esti egala al unu el la faktoroj de la dua produto. Tiel ni povas forigi p de ambaŭ produtoj, kaj ilia egaleco inter si daŭre restas. Daŭrante per ĉi tiu maniero, oni povas vidi ke la primaj faktoroj de la du produtoj devas kongrui precize.
Vidu ankaŭ
- Fundamenta teoremo de algebro
- Entjera faktorigo
- Prima faktoriga algoritmo
- Prima signumo
- Plej granda komuna divizoro
- Plej malgranda komuna oblo
Eksteraj ligiloj
greke Plej granda komuna divizoro kaj la fundamenta teoremo de aritmetiko je tranĉi-la-nodon greke PlanetMath: Pruvo de fundamenta teoremo de aritmetiko greke Blogo pri la lasta teoremo de Fermat: Unika Faktorigo