Funkcio de Euler

Normo de phi sur la kompleksa ebeno, kolorita tiel ke nigra=0, ruĝa=4

En matematiko, la funkcio de Euler definiĝas jene

$\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)$

Nomita laŭ Leonhard Euler, ĝi estas prototipa ekzemplo de q-serio, modjula formo, kaj provizas la prototipan ekzemplon de rilato inter kombinatoriko and kompleksa analitiko.

Propraĵoj

La koeficiento $p(k)$ en la Maclaurin-a serio por $1/\phi(q)$ estas la nombro de ĉiuj entjeraj partigoj de k. Tiel,

$\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k$

kie $p(k)$ estas la partiga funkcio de k.

La identaĵo de Euler (kvinangula nombra teoremo) estas

$\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}$

Rimarku ke $(3n^2-n)/2$ estas kvinangula nombro.

La funkcio de Euler rilatas al la funkcio eta de Dedekind per identaĵo de Ramanujan jene

$\phi(q)= q^{-1/24} \eta(\tau)$

kie $q=e^{2\pi i\tau}$ estas la kvadrato de la nomeno.

Rimarku ke ambaū funkcioj havas la simetrion de la modjula grupo.

Referencoj

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9