Funkcio de Euler

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Normo de phi sur la kompleksa ebeno, kolorita tiel ke nigra=0, ruĝa=4

En matematiko, la funkcio de Euler definiĝas jene

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)

Nomita laŭ Leonhard Euler, ĝi estas prototipa ekzemplo de q-serio, modjula formo, kaj provizas la prototipan ekzemplon de rilato inter kombinatoriko and kompleksa analitiko.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

La koeficiento p(k) en la Maclaurin-a serio por 1/\phi(q) estas la nombro de ĉiuj entjeraj partigoj de k. Tiel,

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k

kie p(k) estas la partiga funkcio de k.

La identaĵo de Euler (kvinangula nombra teoremo) estas

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}

Rimarku ke (3n^2-n)/2 estas kvinangula nombro.

La funkcio de Euler rilatas al la funkcio eta de Dedekind per identaĵo de Ramanujan jene

\phi(q)= q^{-1/24} \eta(\tau)

kie q=e^{2\pi i\tau} estas la kvadrato de la nomeno.

Rimarku ke ambaū funkcioj havas la simetrion de la modjula grupo.

Referencoj[redakti | redakti fonton]