Gaŭsa funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Gaŭsaj kurboj (kloŝformaj kurboj) parametrigitaj por statistiko

Gaŭsa funkcio (nomita post Carl Friedrich Gauss) estas funkcio de formo:

f(x) = a e^{-(x-b)^2/c^2}

por iu reelaj konstantoj a>0, b kaj c.

Gaŭsaj funkcioj kun c2=2 estas propraj funkcioj de la konverto de Fourier. Ĉi tio signifas ke la konverto de Fourier de gaŭsa funkcio kun c2=2 estas la funkcio kies Konverto de Fourier estis prenita multiplikita per skalaro.

Gaŭsaj funkcioj estas inter tiuj funkcioj kiuj estas rudimentaj sed iliaj malderivaĵoj ne povas esti skribitaj per rudimentaj funkcioj. Tamen la nepropra integralo super la tuta reela linio povas esti komputita akurate:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}

Ĉi tiu kalkulo povas esti plenumita per la restaĵa teoremo de kompleksa analitiko, sed estas ankaŭ la alia simpla kaj maniero fari la kalkulon. Estu la valoro de ĉi tiu integralo I. Tiam

I^2 = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy

La variablo de integralado de x al y en unu al la du multiplikataj integraloj. Nun ŝanĝu al ebenaj polusaj koordinatoj

I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr=\pi\int_0^\infty e^{-u}\,du=\pi

per la anstataŭo u=r2, du=2rdr.

En la ĝenerala formo de la gaŭsa funkcio la nepropra integralo estas

\int_{-\infty}^\infty a e^{- { (x-b)^2 \over 2 c^2 } }\,dx=ac\sqrt{2\pi}

Aplikoj[redakti | redakti fonton]

La malderivaĵo de la gaŭsa funkcio estas la funkcio de eraro de Gauss.

Gaŭsaj funkcioj aperas en multaj ĉirkaŭtekstoj en la natursciencoj, la socia scienco, matematiko, kaj inĝenierado. Iu ekzemploj estas:

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]