Grupa ago

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Ĉi tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon grupa ago (sociologio).


En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per nocio de grupa ago: ĉiu ero de la grupo "agas" tiel ke ĝi surĵetas laŭ "simetrio" erojn de iu aro. En ĉi tiu okazo, la grupo estas ankaŭ nomata kiel permuta grupo (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ transforma grupo (aparte se la aro estas vektora spaco kaj la grupo agas kiel linearaj transformoj de la aro). Permuta prezento de grupo G estas prezento de G kiel grupo de permutoj de la aro (kutime se la aro estas finia), kaj povas esti priskribita kiel grupa prezento de G per permutaj matricoj, kaj estas kutime konsiderita en la finidimensia okazo - ĝi estas la sama kiel grupa ago de G sur ordita bazo de vektora spaco.

Difino[redakti | redakti fonton]

Se \mathrm{G} estas grupo kaj \mathrm{X} estas aro, tiam grupa ago de \mathrm{G} sur \mathrm{X} estas duuma funkcio \cdot : \mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X} (kie la surĵeto de g \in \mathrm{G} kaj x \in \mathrm{X} estas skribita kiel g \cdot x) kiu kontentigas jenajn du aksiomojn:

  1. g \cdot (h \cdot x) = (g h) \cdot x por ĉiuj g, h \in \mathrm{G} kaj x \in \mathrm{X}
  2. e \cdot x = x por ĉiu x \in \mathrm{X} (e estas identa ero de \mathrm{G})

De ĉi tiuj du aksiomoj sekvas ke por ĉiu g \in \mathrm{G} kiu estas funkcio kiu surĵetas x \in \mathrm{X} al g \cdot x estas reciproke unuvalora surĵeto de \mathrm{X} al \mathrm{X}. Pro tio oni povas alternative kaj ekvivalente difini grupan agon de \mathrm{G} sur \mathrm{X} kiel grupa homomorfio \mathrm{G} \rightarrow \mathcal{X}, kie \mathcal{X} estas grupo de ĉiuj reciproke unuvaloraj surĵetoj de \mathrm{X} al \mathrm{X}.

Se grupa ago \mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X} estas donita, oni ankaŭ diras ke G agas sur aro XX estas G-aro.