Hamiltona mekaniko

Hamiltona mekaniko estas reesprimo de klasika mekaniko far William Rowan Hamilton. Anstataŭ koordinatoj kaj siaj asociata rapidoj en Lagranĝa mekaniko, Hamiltona mekaniko uzas koordinatoj kaj siaj (kanonaj) movokvantoj. Tia elekto estas pli "demokratia" en senco ke la koordinatoj kaj la movokvantoj estas reprezentata simile en la ekvacioj de Hamiltona mekaniko (la ekvacioj de Hamilton), kontraste kun la ekvacioj de Euler–Lagrange de Lagranĝa mekaniko. Ankaŭ, la ekvacioj de Hamilton estas unua-ordaj, konstraste kun la dua-ordaj ekvacioj de Euler–Lagrange.

Difino

Laŭ hamiltona mekaniko, klasika fizika sistemo konsistas el:

• Simplekta sternaĵo $(M,\omega)$, k.e., para-dimensia reela diferenciala sternaĵo $M$ kune kun fermita nedegenera diferenciala 2-formo $\omega$ (la simplekta formo). La dimensio de $M$ estas duobla da la nombro de gradoj de libereco. (Pli ĝenerale oni povas uzi sternaĵon de Poisson anstataŭ simplekta sternaĵo.) Stato estas punkto en $M$.
• Reela funkcio $H\colon\mathbb R\times M\to\mathbb R$, la hamiltoniano, kiu estas funkcio de tempo kaj stato, kaj kies valoro estas (almenaŭ por aŭtonoma sistemo) la energio de la sistemo. La sistemo estas aŭtonoma s.n.s. la hamiltoniano ne dependas de tempo.
• Komenca stato $x_0\in M$.

La simplekta formo $\omega$ difinas izomorfion $V\mapsto\omega(V,\cdot)$ inter la spaco de vektoroj $T_xM$ kaj la spaco de kovektoroj $T^*_xM$ ĉe ĉiu punkto $x\in M$ — kaj tiel inter vektoraj kampoj kaj 1-formoj (kovektoraj kampoj). Difinu la (2,0)-tensoron $\omega^{-1}$. Oni povas do difini la hamiltonan vektoran kampon $X_H$ kiel

$X_H(t)=\omega^{-1}(\operatorname d\!H(t),\cdot)$.

La stato $x(t)$ evoluas laŭ la ekvacio de Hamilton, kiu asertas ke la evoluo de la stato sekvas la hamiltonan vektoran kampon. Alivorte:

$\dot x(t)=X_H(t,x(t))=\omega^{-1}(\operatorname d\!H(t,x(t)),\cdot)$.

Tiu ĉi estas la ekvacio de movado de hamiltona sistemo.

Loke, oni povas difini lokan koordinatsistemon $(q_i,p_i)$ ($i=1,\dots,\dim M/2$) tian ke la formo $\omega$ fariĝas:

$\omega_{ij}=\begin{pmatrix} 0&I_{\dim M/2}\\ -I_{\dim M/2}&0 \end{pmatrix}$

kie $I_n$ estas $n\times n$ identa matrico. Simile,

$(\omega^{-1})^{ij}=\begin{pmatrix} 0&-I_{\dim M/2}\\ I_{\dim M/2}&0 \end{pmatrix}$.

Do la ekvacio de Hamilton fariĝas:

$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$

$\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$.

Ni observu ke la koordinatoj $q_i$ kaj la movokvantoj $p_i$ estas traktitaj simile (kontraste kun la ekvacioj de Euler–Lagrange de lagranĝa mekaniko).

Krampoj de Poisson

La krampoj de Poisson $\{\cdot,\cdot\}$ de du skalaraj kampoj $f,g\colon M\to\mathbb R$ estas difinitaj kiel

$\{f,g\}=-\omega^{-1}(\operatorname d\!f,\operatorname d\!g)$.

Loke,

$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p} -\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$.

Ilia uzo simpligas la ekvacioj de Hamilton al

$\dot q_i=\{q,H\}$

$\dot p_i=\{p,H\}$.

Do la evoluo de ia funkcio $f\colon\mathbb R\times M\to\mathbb R$ de tempo kaj stato estas

$\dot f=\frac{\partial f}{\partial q}\dot q+\frac{\partial f}{\partial p}\dot p+\frac{\partial f}{\partial t}=\{f,H\}+\frac{\partial}{\partial t}$.

Alivorte, ĝenerale,

$\frac{\operatorname d}{\operatorname d\!t}=\{\cdot,H\}+\frac\partial{\partial t}$.

Ni vidu ke kvanto konserviĝas se ĝiaj krampoj kune kun la hamiltoniano nulas (kaj ĝi ne dependas rekte de tempo).

Principo de senmova ago por hamiltonaj sistemoj

Similaĵo al la principo de senmova ago por lagranĝa sistemo ekzistas por hamiltona sistemo. Nomu la spacon de kurboj el $x_0\in M$ al $x_1\in M$ $\Gamma(x_0,x_1)$. Difinu la agon $S\colon\Gamma(x_0,x_1)\to\mathbb R$ kiel

$S[\gamma]=\int_{t_0}^{t_1}\left(\sum_ip_i(t)\dot q_i(t)-H(t,q,p)\right)\;\operatorname d\!t$.

Do la ago estas senmova ĉe la trajektorio. Notu ke, por hamiltona sistemo, oni fiksas ambaŭ la koordinatojn kaj la movokvantojn, kontraste kun la principo de senmova ago por lagranĝa sistemo, kie oni fiksas solajn la koordinatojn, ne la rapidojn.

Skizo de pruvo.

$\delta S=\delta(\int(p\dot q-H)\operatorname d\!t$

$=\int\left(\delta p\dot q+p\delta\dot q-\frac{\partial H}{\partial q}\delta q-\frac{\partial H}{\partial p}\delta p\right)\operatorname d\!t$

$=\int\left(\delta p\left(\dot q-\frac{\partial H}{\partial p}\right)-\delta q\left(\dot p+\frac{\partial H}{\partial q}\right)\right)\operatorname d\!t$.

∴ $\dot q=\partial H/\partial p$ kaj $\dot p=-\partial H/\partial q$ se $\delta S=0$ por iu ajn $\delta q$ kaj $\delta p$. ∎

Teoremo de Liouville

Natura voluma formo ekzistas sur simplekta sternaĵo $(M,\omega)$, kiu estas $\omega^n$ ($\dim M=2n$). Konsideru distribuon (de ensemblo aŭ probablo) $\rho\colon M\to\mathbb R$. La kvanto $N=\int_M\rho\omega^n$ ($=1$ por probablodistribuo) devas konserviĝi; do la distribuo devas verigi la ekvacio de kontinueco:

$\partial_t\rho+\partial_i(X_H^i\rho)=0$,

kie $X_H$ estas la hamiltona vektora kampo kaj $i=1,\dotsc,\dim M$ estas sumita. Do

$\dot\rho=\partial_t\rho+X_H^i\partial_i\rho$

$=-\rho\partial_iX_H^i$

$=0$. (Ĉar $\partial_iX_H^i\propto\partial_i(\omega^{ij}\partial_jH)=(\partial_i\omega^{ij})\partial_jH+\omega^{ij}\partial_i\partial_jH$; la unua termo nulas ĉar fermiteco de $\omega$, la dua ĉar antisimetrio de $\omega$.)

Do la probabla denso konserviĝas laŭ hamiltona fluo. Tiu ĉi estas la teoremo de Liouville, pruvita de la usona fizikisto Josiah Willard Gibbs kaj nomita laŭ la franca matematikisto Joseph Liouville.

Referencoj

• LD Landau, EM Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press.
• KC Gupta, Classical mechanics of particles and rigid bodies, Wiley, 1988.
• H Goldstein, CP Poole, JL Safko, Classical Mechanics. Addison-Wesley.
• C Lanczos, The variational principles of mechanics. Dover, 1986, ISBN 0486650677.
• F Kuypers, Klassische Mechanik Wiley-Vch, 2008, ISBN 3527407219.
• ВИ Арнольд, Математические методы классической механики. 3a eld. Moskvo: Наука, 1989.
  • Angla traduko VI Arnold, Mathematical methods of mathematical physics, 2a eld. Novjorko: Springer-Verlag, 1989. ISBN 0387968903