Harmonia dividanta nombro

Klasifiko de entjeroj laŭ dividebleco

Formoj de faktorigo:

Primo

Komponita nombro

Pova nombro

Kvadrato-libera entjero

Aĥila nombro

Nombroj kun limigitaj sumoj de divizoroj:

Perfekta nombro

Preskaŭ perfekta nombro

Kvazaŭperfekta nombro

Multiplika perfekta nombro

Hiperperfekta nombro

Unuargumenta perfekta nombro

Duonperfekta nombro

Primitiva duonperfekta nombro

Praktika nombro

Nombroj kun multaj divizoroj:

Abunda nombro

Alte abunda nombro

Superabunda nombro

Kolose abunda nombro

Alte komponigita nombro

Supera alte komponigita nombro

Aliaj:

Manka nombro

Bizara nombro

Amikebla nombro

Kompleza nombro

Societema nombro

Nura nombro

Sublima nombro

Harmona dividanta nombro

Malluksa nombro

Egalcifera nombro

Ekstravaganca nombro

Vidu ankaŭ:

Dividanta funkcio

Divizoro

Prima faktoro

Faktorigo

En matematiko, harmonia dividanta nombro, aŭ nombro de Ore (nomita pro Øystein Ore, kiu difinis ili en 1948), estas pozitiva entjero kies divizoroj havas harmonian meznombron kiu estas entjero. La unuaj kelkaj harmoniaj dividantaj nombroj estas

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, ... .

Ekzemple, la harmonia dividanta nombro 6 havas la kvar divizorojn 1, 2, 3, kaj 6. Ilia harmonia meznombro estas entjero:

$\frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2$

La nombro 140 havas la divizorojn 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, kaj 140. Ilia harmonia meznombro estas

$\frac{12}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10} +\frac{1}{14}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}+\frac{1}{140}}$

kiu egalas 5 kiu estas entjero, do 140 estas harmonia dividanta nombro.

Harmoniaj dividantaj nombroj kaj perfektaj nombroj

Por ĉiu entjero M, kiel Ore observis, la produto de la harmonia meznombro kaj aritmetika meznombro de ĝiaj divizoroj egalaj M mem. Pro tio, M estas harmonia, kun harmonia meznombro de divizoroj k, se kaj nur se la averaĝo de ĝiaj divizoroj estas la produto de M kun ono 1/k.

Ore montris ke ĉiu perfekta nombro estas harmonia. La sumo de divizoroj de perfekta nombro M estas akurate 2M; pro tio, la averaĝo de la divizoroj estas M(2/τ(M)), kie τ(M) estas la kvanto de divizoroj de M. Por ĉiu M, τ(M) estas nepara se kaj nur se M estas kvadrata nombro, alie ĉiu dividanto d de M povas esti parita kun malsama dividanto M/d. Sed, perfekta nombro ne povas esti kvadrato: ĉi tio sekvas de la sciata formo de paraj perfektaj nombroj kaj de tio ke neparaj perfektaj nombroj (se ili ekzistas) devas havi faktoron de formo q^α kie α ≡ 1 (mod 4). Pro tio, por perfekta nombro M, τ(M) estas para kaj la averaĝo de la divizoroj estas produto de M kun la ono 2/τ(M); tial, M estas harmonia dividanta nombro.

Ore konjektis ke ne ekzistas neparaj harmoniaj dividantaj nombroj escepte de 1. Se la konjekto estas vera, ĉi tio devas enhavi la neekziston de neparaj perfektaj nombroj.

Baroj kaj komputilaj serĉoj

W. H. Frezas montris ke ĉiu nepara harmonia dividanta nombro pli granda ol 1 devas havi priman povan faktoron pli grandan ol 10⁷, kaj Cohen montris ke ĉiu tia nombro devas havi almenaŭ tri malsamajn primajn faktorojn.

Cohen, Goto, kaj aliaj startante kun Ore mem plenumis komputilajn serĉojn listante ĉiujn malgrandajn harmonajn dividantajn nombrojn. De ĉi tiuj rezultoj, listoj estas sciata de ĉiuj harmonaj dividantaj nombroj ĝis 2×10⁹, kaj ĉiuj harmoniaj dividantaj nombroj por kiuj la harmonia meznombro de la divizoroj estas maksimume 300.

Referencoj

• An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer - Idento koncernanta averaĝojn de divizoroj de donita entjero. Alirita la 2006-09-10 .
• "{{{titolo}}}".Cohen, Graeme L.Cohen, Graeme L. (1997). "{{{titolo}}}". Mathematics of Computation - Matematiko de kalkulado 66: 883–891
• (Ore's) Harmonic Numbers - Harmoniaj nombroj de Ore. Alirita la 2006-09-10 .
• "{{{titolo}}}". COI:10.2307/2004277.Muskat, Joseph B.Muskat, Joseph B. (1966). "". Mathematics of Computation - Matematiko de kalkulado 20 (93): 141–144
• "{{{titolo}}}".Øystein OreØystein Ore (1948). "". American Mathematical Monthly - Amerika matematika monatrevuo 55: 615–619

Eksteraj ligiloj

    Eric W. Weisstein, Harmonia dividanta nombro en MathWorld.

    A001599 en OEIS