Polinomo de Hermite

Polinomoj de Hermite estas polinomoj kun realaj koeficientoj, kiuj estas difine per rikuraj formuloj:

$H_{n+1}(x) = 2xH_{n}(x) - 2nH_{n-1}(x)$

$H_{0}(x) = 1$

$H_{1}(x) = 2x$

Ĉi tiuj polinomoj estas uzata en priskribo de kvantuma harmonika oscilatoro.

Genera funkcio

Polinomo de Hermite estas koeficientoj apud variablo t en serio de Maclaurin de funkcio $g(x,t)=e^{-t^{2} + 2tx}$, do estas forulo:

$g(x,t)=e^{-t^{2} + 2tx} = \sum _{n=0} ^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n!}$

Skemoj de polinomoj

Sube estas kvar skemoj de unuaj polinomoj de Hermite:

Atributoj de polinomoj de Hermite

• $H _{0}(x) = \left. e^{-t^{2} + 2tx} \right| _{t=0} = 1$

• $H _{1}(x) = \left. \frac{d}{dt} \left( e^{-t^{2} + 2tx} \right) \right| _{t=0} = 2x$
• $\frac{dH _{n}(x)}{dx} = 2nH _{n-1}(x)$
• $H_{2n}(0) = (-1)^{n} \frac{(2n)!}{n!}$
• $H_{2n+1}(0) = 0$
• $H_{n}(-x) = (-1)^{n} H_{n}(x)$

Vidu ankaŭ

1. polinomoj de Czebyszew,
2. polinomoj de Laguerre,
3. polinomoj de Legendre.