Hiperbola funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco

En matematiko, la hiperbolaj funkcioj estas certaj funkcioj de unu variablo, iel analogaj al la ordinara trigonometriaj funkcioj.

Iliaj retroĵetoj estas la inversaj hiperbolaj funkcioj.

La bazaj hiperbolaj funkcioj estas la hiperbola sinuso kaj hiperbola kosinuso, difinitaj per eksponenta funkcio. La aliaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj per ili du, simile al tio kiel per sinuso kaj kosinuso estas difinitaj la aliaj trigonometriaj funkcioj

La hiperbolaj funkcioj preni reelajn valorojn por reelaj argumentoj. La argumento estas iam nomata kiel la hiperbola angulo. En kompleksa analitiko, ili estas simple racionalaj funkcioj de eksponentaj funkcioj, kaj do estas meromorfaj funkcioj.

La grafikaĵo de hiperbola kosinuso estas la kateno, la kurbo formata per fleksebla ĉeno de egala longa denseco, fiksita je siaj finoj kaj pendanta libere sub gravito.

Difinoj[redakti | redakti fonton]

La hiperbolaj funkcioj estas:

Nomo Skribmaniero Difino
Hiperbola sinuso sinh xsh x  \frac{e^x - e^{-x}}{2}\!
Hiperbola kosinuso cosh xch x  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\!
Hiperbola tangento tanh xth x  \frac{\sinh x}{\cosh x}\!
Hiperbola kotangento coth xcth x  \frac{\cosh x}{\sinh x}\!
Hiperbola sekanto sech x  \frac{1}{\cosh x} \!
Hiperbola kosekanto csch  \frac{1}{\sinh x} \!
Sinh cosh tanh.svg
sinh, cosh, tanh
Csch sech coth.svg
csch, sech, coth

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!
\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \!
\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \!
\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!
(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \!
(\tanh x)^2 = 1-(\operatorname{sech} x)^2\!
(\coth x)^2 = 1+(\operatorname{csch} x)^2\!

kie i estas la imaginara unuo.

sinh(-x) = -sinh x
cosh(-x) = cosh x

De ĉi tie:

tanh(-x) = -tanh x
coth(-x) = -\coth x
sech(-x) = sech x
csch(-x) = -csch x

cosh x kaj sech x estas paraj funkcioj, la aliaj el la ses estas neparaj funkcioj.

Identoj por sumo de argumentoj:

\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,
\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,
\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,

por duoblaj argumentoj:

\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,
\cosh 2x\ = (\cosh x)^2 + (\sinh x)^2 = 2(\cosh x)^2 - 1 = 2(\sinh x)^2 + 1 \,

por duonaj argumentoj:

\left(\cosh \frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\cosh x + 1}{2}
\left(\sinh \frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\cosh x - 1}{2}

Derivaĵoj[redakti | redakti fonton]

 \frac{d \sinh(x)}{dx} = \cosh(x) \,
 \frac{d \cosh(x)}{dx} = \sinh(x) \,
 \frac{d \tanh(x)}{dx} = 1 - (\tanh(x))^2 = (\operatorname{sech}(x))^2 = 1/(\cosh(x))^2 \,
 \frac{d \coth(x)}{dx} = 1 - (\coth(x))^2 = -(\operatorname{csch}(x))^2 = -1/(\sinh(x))^2 \,
 \frac{d \operatorname{csch(x)}}{dx} = - \coth(x)\operatorname{csch(x)}\,
 \frac{d \operatorname{sech(x)}}{dx} = - \tanh(x)\operatorname{sech(x)}\,

Malderivaĵoj[redakti | redakti fonton]

\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C
\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C
\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\cosh ax) + C
\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\sinh ax) + C

En la pli supre donitaj esprimoj, C estas la konstanto de integralado.

Serioj[redakti | redakti fonton]

Serioj de Taylor:

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}

Hiperbola kotangento kaj hiperbola kosekanto havas poluson en punkto 0, tiel iliaj seriaj elvolvaĵoj estas serioj de Laurent:

\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (_Laurent_ serio)
\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi

En la formuloj pli supre

Bn estas la n-a nombro de Bernoulli,
En estas la n-a eŭlera nombro.

Hiperbolaj funkcioj por kompleksaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Pro tio ke la eksponenta funkcio estas difinita por ĉiu kompleksa argumento, la difinoj de la hiperbolaj funkcioj uzeblas ankaŭ por kompleksaj argumentoj. La funkcioj sinh z kaj cosh z estas tiam holomorfaj; iliaj serioj de Taylor konverĝas ĉie.

Interrilatoj al trigonometriaj funkcioj estas donitaj per eŭlera formulo, vera por ĉiu kompleksa x:

eix = cos x + i sin x

el ĉi tiu formulo sekvas la sekva formulo

e-ix = cos x - i sin x

kaj tiel

\cosh ix = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2} = \cos x
\sinh ix = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin x
tanh ix = i tan x
cosh x = cos ix
sinh x = -i sin ix
tanh x = -i tan ix

La hiperbolaj funkcioj estas perioda kun kompleksa periodo 2πi (πi por hiperbola tangento kaj hiperbola kotangento).

De la difinoj de hiperbolaj sinuso kaj kosinuso, eblas derivi jenajn identojn:

ex = cosh x + sinh x

kaj

e-x = cosh x - sinh x

Ĉi tiuj esprimoj estas analogoj al la eŭlera formulo.

Complex Sinh.jpg
sinh z
Complex Tanh.jpg
tanh z
Complex Sech.jpg
sech z
Complex Cosh.jpg
cosh z
Complex Coth.jpg
coth z
Complex Csch.jpg
csch z

Simileco al trigonometriaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Radio tra la origino tranĉas la hiperbolon x2-y2 = 1 en la punkto (cosh A, sinh A), kie A estas la areo inter la radio kaj ĝia spegula bildo kun respekto al la x-akso, kaj la hiperbolo

Punkto sur la hiperbolo x y = 1 kun x > 1 difinas hiperbolan triangulon en kiu la flanko najbara al la hiperbola angulo estas asociita kun cosh kaj la flanko kontraŭa estas asociita kun sinh. Pro tio ke la punkto (1, 1) sur ĉi tiu hiperbolo estas je distanco √2 de la punkto (0, 0), la normaliga konstanto 1/√2 estas necesa al difini funkciojn cosh kaj sinh per longoj de la flankoj de la hiperbola triangulo.

Simile al tio ke kiel la aro de punktoj (cos t, sin t) estas cirklo, la aro de punktoj (cosh t, sinh t) estas la dekstra duono de la egallatera hiperbolo x2-y2 = 1.

La parametro t estas ne cirkla angulo, sed hiperbola angulo kiu estas duobligita areo inter la x-akso, la hiperbolo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cosh t, sinh t). Traktado de la parametro kiel duobligita areo fakte taŭgas ankaŭ por la trigonometriaj funkcioj; se konsideri punkton (cos t, sin t) sur cirklo do la argumento t estas duobligita areo de la cirkla sektoro inter la x-akso, la cirklo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cos t, sin t).

La hiperbolaj funkcioj kontentigas multajn identojn, similajn en formo al tiuj por la trigonometriaj funkcioj. Fakte, regulo de Osborn statas ke eblas konverti ĉiun trigonometrian identon en hiperbolan identon per elvolvanta ĝin plene en termojn de entjeraj potencoj de sinusoj kaj kosinusoj, ŝanĝo de sin al sinh kaj cos al cosh, kaj ŝanĝo de la signo de ĉiu termo kiu enhavas produton de kvanto 2, 6, 10, 14, ... da sinh-oj, kalkulante kun la potencoj. La derivado povas esti farita per trairo al trigonometriaj fukcioj kiel estas donite pli supre. Oni fari anstataŭigon en la fonta trigonometria idento kiel cosh ixj = cos xj kaj sinh ixj = i sin xj por ĉiu variablo xj; ĉi tiu aldona multiplikata imaginara unuo i ĉe sinuso, se en potenco 2, 6, 10, 14, ..., donas la ŝanĝon de signo. Poste necesas ŝanĝi la variablojn wj = ixj kaj la hiperbola idento rezultiĝas.

Ĉi tiel eblas ricevi donitajn pli supre identojn por sumo de argumentoj, por duoblaj argumentoj kaj por duonaj argumentoj

La funkcio de Gudermannian donas interrilaton inter la trigonometriaj kaj la hiperbolaj funkcioj ne engaĝante kompleksajn nombrojn.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]