Hiperbola spaco

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Perspektiva projekcio de modelo de Klein de ordo-4 dekduedra kahelaro de hiperbola 3-dukto H3.
Kvar dekduedroj kuniĝas je ĉiu latero, ok dekduedroj kuniĝas je ĉiu vertico, simile al kuba kahelaro en eŭklida spaco E3
Ordo-5 kuba kahelaro de hiperbola 3-spaco, montrita per la pilka modelo de Poincaré

En matematiko, hiperbola n-spaco, s Hn, estas la maksimume simetria, simple koneksa, n-dimensia rimana dukto kun konstanta sekcia kurbeco -1. Ĝi estas la negative kurbeca analogo de la n-sfero.

Kvankam hiperbola spaco Hn estas glate izomorfia al eŭklida spaco Rn ĝia negativa kurbeca metriko donas ĝi tre malsamajn geometriajn propraĵojn.

Hiperbola 2-spaco, H2 estas hiperbola ebeno.

Hiperbola spaco estas la ĉefa speco de spaco en hiperbola geometrio.

Modeloj de hiperbola spaco[redakti | redakti fonton]

Hiperbola spaco, ellaborita sendepende de Lobaĉevskij kaj Bolyai, estas geometria spaco analoga al eŭklida spaco, sed tia ke la eŭklida 5-a postulato ne estas tie alprenita. Anstataŭe, estas prenita jena alternativa postulo (en du dimensioj):

  • Por ĉiu donita rekto L kaj punkto P ne sur L, estas minimume du malsamaj rektoj tra P kiuj ne sekcas L.

Pli severe, malmulte pli limiga kondiĉo estas necesa por unikeco de la hiperbola ebeno: Estas akurate du tiaj rektoj kiuj estas asimptote paralelaj al L.

Hiperbola spaco estis konstruita por modeli ĉi tiun ŝanĝon de eŭklida geometrio. La ekzisto de modelita spaco implicas ke la 5-a postulato estas logike sendependa de la aliaj aksiomoj de eŭklida geometrio.

Estas kelkaj gravaj modeloj de hiperbola spaco: la modelo de Klein, la hiperboloida modelo, kaj la modelo de Poincaré. Ili ĉiua modelas la saman geometrion en la senco la modelaĵoj de diversaj modeloj povas esti rilatantaj per transformo kiu konservas ĉiujn geometriajn propraĵojn de la spaco. Ili estas izometriaj.

Hiperboloida modelo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Hiperboloida modelo.

La unua modelo komprenas hiperbolan spacon kiel hiperboloido en Rn+1 = {(x0, ..., xn)|xiR, i=0, 1, ..., n}. La hiperboloido estas la situo Hn de punktoj kies koordinatoj kontentigas kondiĉon

x_0^2-x_1^2-\ldots-x_n^2=1,\quad x_0>0

En ĉi tiu modelo la rekto estas geodezia, la kurbo eltranĉata per sekco de Hn per ebeno tra la (0, 0, ..., 0) en Rn+1.

La hiperboloida modelo estas proksime rilatanta al la geometrio de spaco de Poincaré. La kvadrata formo

Q(x) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2

kiu difinas la hiperboloidon polarizas por doni la dulinearan funkcion B difinitan kiel

B(x,y) = (Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_0y_0 - x_1y_1 - \cdots - x_ny_n.

La spaco Rn+1, kun la dulineara funkcio B estas (n+1)-dimensia spaco de Minkowski Rn, 1.

Tiel oni povas doni nocion de la distanco al la hiperboloida modelo, per difino de la distanco inter du punktoj x kaj y sur H kiel

d(x, y) = arcosh(B(x, y))

Ĉi tiu funkcio kontentigas la aksiomojn de metrika spaco. Ankaŭ, ĝi estas konservata per la ago de la lorenca grupo sur Rn, 1. Tiel la lorenca grupo agas kiel transforma grupo de izometrioj sur Hn. Estas simileco de ĉi tiu distanco de distanco kun la elipsa geometrio (ĥorda metriko) sur sfero, kiu uzas trigonometrian funkcion anstataŭ la hiperbola funkcio.

Modelo de Klein[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Modelo de Klein.

Alternativa modelo de hiperbola geometrio estas sur certa malfermita aro en projekcia spaco. La kvadrata formo de Minkowski Q difinas subaron UnRPn donitan kiel situo de punktoj por kiu Q(x) > 0 en la homogenaj koordinatoj x. La domajno Un estas la modelo de Kleinmodelo de Beltrami-Klein de hiperbola spaco.

La rektoj en ĉi tiu modelo estas la malfermitaj segmentoj de la ĉirkaŭa projekcia spaco kiuj kuŝas) en Un. La distanco inter du punktoj x kaj y en Un estas difinita per

d(x, y) = \operatorname{arccosh}\left(\frac{B(x,y)}{\sqrt{Q(x)Q(y)}}\right)

Ĝi estas bone-difinita sur projekcia spaco, pro tio ke la rilatumo sub la inversa hiperbola kosinuso estas homogena de grado 0.

Ĉi tiu modelo estas rilatanta al la hiperboloida modelo en la sekva maniero. Ĉiu punkto x ∈ Un respektivas al rekto Lx tra la fonto en Rn+1, per la difino de projekcia spaco. Ĉi tiu linio sekcas la hiperboloidon Hn en unika punkto. Reen, tra ĉiu punkto sur Hn kaj tra la fonto estas unika rekto, kiu estas punkto en la projekcia spaco. Ĉi tiu rilato difinas reciproke unuvaloran surĵeton inter Un kaj Hn. Ĝi estas izometrio pro tio ke komputado de d(x, y) laŭ Q(x) = Q(y) = 1 reproduktas la difinon de la distanco donita por la hiperboloida modelo.

Modeloj de Poincaré[redakti | redakti fonton]

Aliaj proksime rilatantaj modeloj de hiperbola geometrio estas la pilka modelo de Poincaré kaj la duonspaca modelo de Poincaré. En 2-dimensia okazo ili estas respektive diska modelo de Poincaré kaj duonebena modelo de Poincaré

La pilka modelo venas de rektlinia sfera projekcio de la hiperboloido en Rn+1 sur la ebeno {x0 = 0}. Detale, estu S la punkto en Rn, 1 kun koordinatoj (-1, 0, 0, ... ,0): la suda poluso por la rektlinia sfera projekcio. Por ĉiu punkto P sur la hiperboloido Hn, estu P* la unika punkto de intersekco de la rekto SP kun la ebeno {x0 = 0}. Ĉi tiu establas dissurĵeton de Hn en la unuan pilkon

 B^n = \{(x_1,\ldots,x_n) | x_1^2+\ldots+x_n^2 < 1\}

en la ebeno {x0 = 0}.

La geodeziaj en ĉi tiu modelo estas duoncirkloj kiuj estas perpendikularo al la randa sfero de Bn. Izometrioj de la pilko estas generitaj per sfera inversigo en hipersfero perpendikulara al la rando.

La duonspacaj modelaj rezultas de apliko de inversigo en punkto de la rando de Bn. Ĉi tiu sendas cirklojn al cirkloj kaj rektoj, kaj estas ankaŭ konforma transformo. Sekve la geodeziaj de la duonspaca modelo estas rektoj kaj cirkloj perpendikularaj al la randa hiperebeno.

Hiperbolaj duktoj[redakti | redakti fonton]

Ĉiu plena, koneksa, simple-koneksa dukto de konstanta negativa kurbeco -1 estas izometria al la reela hiperbola spaco Hn. Kiel rezulto, la universala kovro de ĉiu fermita dukto M de konstanto negativa kurbeco −1, kiu estas hiperbola dukto, estas Hn. Tial, ĉiu ĉi tia M povas esti skribita kiel Hn kie Γ estas tordeco-libera diskreta grupo de izometrioj sur Hn. Tio estas ke Γ estas krado en SO+(n, 1).

Rimanaj surfacoj[redakti | redakti fonton]

Du-dimensiaj hiperbolaj surfacoj povas ankaŭ esti komprenitaj per la rimanaj surfacoj. Laŭ la samformiga teoremo, ĉiu rimana surfaco estas elipsa, parabola aŭ hiperbola. Plejparto de hiperbolaj surfacoj havas ne-bagatelan fundamentan grupon \pi_1=\Gamma; la grupoj kiu aperas tiel estas sciataj kiel grupoj de Fuchsian. La kvocienta spaco H de la supra duonebeno module la fundamenta grupo estas la modelo de Fuchsian de la hiperbola surfaco. La duonebeno de Poincaré estas ankaŭ hiperbola, sed estas simple koneksa kaj nekompakta. Ĝi estas la universala kovro de la aliaj hiperbolaj surfacoj.

La analoga konstruado por tri-dimensiaj hiperbolaj surfacoj estas la modelo de Klein.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]