Identa matrico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro identa matricounuobla matrico de amplekso n estas n-per-n kvadrata matrico kun eroj 1 sur la ĉefdiagonalo kaj nuloj aliloke. Ĝi estas skribata kiel In, aŭ simple per I se la amplekso estas negrava aŭ povas esti bagatele difinita per la ĉirkaŭteksto.

En iuj kampoj, ekzemple en kvantuma mekaniko, la identa matrico estas skribata per cifero 1 en grasa tiparfasono, 1. Oni uzas ankaŭ skribojn U kaj E al prezenti la identan matricon (de Unua Matrico aŭ de la germana Einheitsmatrix respektive), kvankam skribo I estas konsiderata kiel pli universala.


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

La grava propraĵo de In estas ke por ĉiu n-per-n matrico A,

InA = AIn = A .

Ankaŭ por ne kvadrata A la propraĵo veras se la matrica multipliko estas difinita, por ĉiu m-per-n matrico A,

ImA = AIn = A .

La identa matrico estas inversigebla:

In-1 = In .

Identa matrico servas kiel la unuo de la ringo de ĉiuj n-per-n matricoj, kaj kiel la neŭtra elemento de la ĝenerala lineara grupo Gl(n) konsistanta el ĉiuj inversigeblaj n-per-n matricoj.

Se n-per-n matricoj estas uzataj por prezenti linearajn transformojn de n-dimensia vektora spaco al si, In prezentas la identan funkcion, sendepende de la uzata bazo.

La i-a kolumno de identa matrico estas la unuobla vektoro ei. La unuoblaj vektoroj estas bazo de ajgenspaco de la identa matrico, respektiva al ajgeno 1, kiu estas pro tio la sola ajgeno kaj havas oblecon n. Do, ĉiu n-dimensia ne nula vektoro estas ajgenvektoro de la identa matrico.

Determinanto de identa matrico estas 1 kaj ĝia spuro estas n.

Identa matrico estas diagonala matrico:

In = diag(1,1,...,1) .

Se produto de du kvadrataj matricoj A kaj B estas identa matrico,

AB = In

do la matricoj estas inversoj unu de la alia:

A = B-1 ,
B = A-1 .

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]