Senfineco
En la matematiko kaj filozofio senfineco (aŭ malfinio aŭ infinito) havas plurajn signifojn, kiuj ĉiuj celas ke la priparolata objekto en ia senco ne havas finon. Ekde antikvaj tempoj filozofoj kaj matematikistoj klopodis kompreni kaj analizi nefinion, sed ofte temis pri misgvidaj argumentoj, ĝis Georg Cantor pli formale kaj rigore analizis la koncepton fine de la 19a jarcento, interalie enkondukante klaran manieron distingi grandecojn de nefinio.
Estas grave distingi la diversajn uzojn de la koncepto "senfineco" en la diversaj kampoj de la matematiko. Ekz-e, en analitiko, "senfineco" estas koncepto uzata por paroli pri limo de vico, kiu ne havas realnombran aŭ kompleksnombran limon; tie faras sencon distingi inter pozitiva kaj negativa senfineco. En aroteorio aliflanke, ne havas sencon paroli pri negativa senfineco, sed tamen ekzistas pluraj malsamaj senfinecoj: Ekz-e oni povas diri ke la aro de realaj nombroj pli grandas ol la aro de naturaj nombroj, kvankam ambaŭ estas senfinaj.
Enhavo |
[redakti] Historio
[redakti] Barato
4 jarcentojn a.K. diversaj barataj tekstoj traktas senfinecon. Upaniŝado mencias ke "se vi forprenas aŭ aldonas parton al senfineco, tiu restas senfineco". Matematika teksto Surya Prajnapti asertas konception de tri specoj de kvantoj: nombreblaj (ekzemple naturaj nombroj), nenombreblaj (tre grandaj), kaj senfinaj.
[redakti] Budhismo
Iuj frua budhisma arto montras dion kun 8-eca simbolo en mano, kiu reprezentas senfinan ciklon.
[redakti] Malnova Grekujo
Estis aristotela koncepto de ebla senfineco (anstataŭ vera senfineco), ekzemple anstataŭ diri ke ekzistas senfina kvanto da primnombroj, oni diris ke estas pli da primnombroj ol en iu ajn konkreta aro de primnombroj.
Tamen lastatempaj esploristoj asertas ke Arĥimedo ŝajnas koncepti veran senfinecon.
[redakti] Matematiko
[redakti] La kalkulo
Lejbnico, unu el la inventintoj de la infinitezima kalkulo, spekulativis multe pri senfinaj nombroj kaj ties uzoj en matematiko. Li opiniis, ke senfineconaj kaj senfinaj kvantoj estis iaj idealaj ekzistaĵoj, sen la sama naturo de palpeblaj kvantoj, tamen kun similaj ecoj kaj reguloj.
[redakti] La reala analizo
En la reala analizo, la simbolo ∞ (nomita "infinito") reprezentas nebaritan limeson. x → ∞ signifas ke x kreskas senbare, kaj x → -∞ signifas ke x malkreskas senbare.
Senfineco estas uzata ofte ne nur por difini limeson, sed kiel memstara kvanto aldonita al la aro de realaj nombroj kiel topologia spaco.
[redakti] La kompleksa analizo
Simile kiel en la reala analizo, ∞ reprezentas nebaritan sensignan limeson. x → ∞ signifas ke la grando |x| kreskas senbare. Kaj simile, punkto ∞ aldoneblas al la kompleksa spaco kiel topologia spaco.
[redakti] La nenorma kalkulo
Origine Lejbnico kaj Neŭtono konceptis senfineconajn kvantojn, sed nesufiĉe rigore, do posteuloj enkondukis la konceptojn de limoj kaj baroj por pliformaligi la matematikon. Tamen en la 20a jarcento oni malkovris metodon uzi senfineconajn kvantojn pli rigore kaj logike. La inverso de senfinecona kvanto estas senfina. Tiel tiaj kvantoj estas elementoj de korpo, kaj se H estas senfina nombro, do 2+H kaj H+1 estas aliaj malsamaj senfinaj nombroj. Tio estas tute alia alveno ol tio de Cantor.
[redakti] La teorio de aroj
Alia speco de "senfineco" estas la ordonombroj kaj kvantonombroj de la aroteorio. Cantor evoluigis sistemon de transfiniaj nombroj, el kiuj la unua estas ℵ0 (alef-nul), kiu reprezentas la kvantonombron de la aro de naturaj nombroj. Ĉi tiu moderna koncepto naskiĝis en la esploroj de Georg Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind kaj aliaj, baze de la koncepto de aroj, kaj aroj de aroj.
Kerna ideo, dank' al Dedekind, estas tio de unu-al-unu-rilato inter la elementoj de 2 aroj, kiel metodo kompari la grandojn de la aroj. Ili forĵetis la malnovan nocion ke parto ne povas samgrandi al la tuto. Tiam senfina aro difineblas kiel aro kiu havas la saman grandon kiel iu parto de la tuto.
Cantor plu evoluigis la ideojn, kun distingo de ordonombroj kaj kvantonombroj. Se oni rigardas naturajn nombrojn en sia funkcio kiel mezuriloj por grandeco de finhavaj aroj, tiam la vastigo al senfinaj aroj donas la kvantonombrojn. Se oni aliflanke rigardas la naturajn nombrojn en sia funkcio kiel indikiloj de pozicioj en iu finhava ordigita aro, tiam vastigo al senfinaj aroj donas la ordonombrojn. Por povi senchave paroli pri pozicioj en senfina ordigita aro, oni tamen devas limigi sin al la bone ordigitaj aroj, kiuj estas la ordigitaj aroj ĉe kiuj ĉiu subaro havas plej malgrandan elementon.
La plej malgranda senfina kvantonombro ℵ0 egalas al la kvanto de naturaj nombroj. Se montreblas unu-al-unu-rilato inter iu aro A kaj la aro de naturaj nombroj, tiam A estas numerebla. Se iu aro A tro grandas por havi unu-al-unu-rilaton kun la naturaj nombroj, tiam A estas nenumerebla.
Unu el la ĉefaj teoremoj de Cantor estas, ke la aro de realaj nombroj pli grandas ol la aro de naturaj nombroj, t.e. la aro de realoj estas nenumerebla. Eble eĉ pli surprize estas tio, ke la aro de raciaj nombroj ja estas numerebla, ĉar eblas difini unu-al-unu-rilaton inter la du aroj de naturaj nombroj kaj raciaj nombroj. Cantor elpensis utilan pruvan metodon, la diagonalan argumenton, por pruvi tiajn rezultojn.
La kontinuaĵa hipotezo temas pri tio, ĉu ekzistas aro kun kvantonombro inter tiu de la naturaj nombroj kaj tiu de la realoj nombroj. Estis pruvite ke ĝi nek pruveblas nek kontraŭpruveblas per la kutimaj aroteoriaj aksiomoj (nomataj Zermelo-Fraenkel-aksiomoj kun elekto-aksiomo (ZFE)), do aperas du variaĵoj de aroteorio, depende de tio, ĉu oni supozas ĝin kiel aldonan aksiomon.
[redakti] Geometrio kaj topologio
Senfineco aperas ofte en geometrio kaj topologio. Estas spacoj senfin-dimensiaj.
[redakti] Fraktaloj
Fraktaloj estas moderna branĉo de matematiko, kiu temas ofte pri objektoj kiu prezentas saman aŭ similan strukturon je diversaj niveloj, tiel montrante senfinan detalecon kaj memsimilecon.
[redakti] Matematiko intence sen senfineco
Iuj matematikistoj estis skeptikaj ĉu vere validas uzi senfinecon precipe post la akcepto de la kantora aroteorio. Leopold Kronecker kaj aliaj tiel evoluigis sen-senfinecajn matematikojn kaj matematikajn filozofiojn, inkluzive de konstruismo kaj intuiciismo, en kiuj oni ne rajtas supozi ke ekzistas senfinaj kvantoj, procezoj, decidprocezoj, ktp.
[redakti] Vidu ankaŭ jenon:
- Senfinecono
- Aksiomo de senfineco
- Nombro
- Nulo
- Georg Cantor
- Lasta lekcio en Gotingeno – Bildrakonto kiu prezentas la teoriojn de Georg Cantor kaj Kurt Gödel pri senfineco.
[redakti] Eksteraj ligiloj
- Lasta lekcio en Gotingeno (esperante) en PDF-formato
- A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets – Anglalingva enkonduko en la matematikon de senfinaj aroj
- Infinite Reflections – Anglalingva filozofia eseo pri senfineco
