Inkluziveco-ekskluda principo

Inkluziveco-ekskluda principo por tri aroj

Inkluziveco-ekskluda principo estas regulo de kombinatoriko, kiu ebligas kalkuli nombrojn de elementoj de kunaĵo de aroj. Aŭtoro probable estas Abrahamowi de Moivre eĉ iufoje estas nomata el nomoj de matematistoj Jamesa Josepha Sylvestera kaj Henriego Poincaré

Teoremo

Se $A_1, A_2 \dots A_n$ estas laŭvolaj aroj, tiam

$\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right| -\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +$

$+ \sum_{i,j,k\,:\,1 \le i<j<k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \dots + (-1)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$,

kie $\left|A_k\right|$ signifas povon de aro $A_k \,$

Ekzemplo

Por tri fina aroj $A_1, A_2, A_3$ nombro de elementoj de ilia kunaĵo estas:

$\left|A_1 \cup A_2 \cup A_3 \right| = \left|A_1 \right| + \left|A_2\right| + \left|A_3 \right| -$

$- \left|A_1 \cap A_2 \right| - \left|A_1 \cap A_3 \right| -\left| A_2 \cap A_3 \right| +$

$+ \left|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right|$

Pruvo

Se elemento $a$ apartenas precize al $m$ en aroj $A_1, A_2 \dots A_n$. En kunaĵo $\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right|$ ĝi estas kalkulata unu fojon. En esprimo $\sum_{i=1}^n\left|A_i\right| -\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i<j<k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \dots$

$\ \dots + (-1)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$

nombro de kalkuloj de sola elemento estas:

$m - {m \choose 2} + {m \choose 3} + \dots + (-1)^m {m \choose {m-1}} + (-1)^{m+1} 1 =$

$= 1 - {m \choose 0} + {m \choose 1} + \dots + (-1)^m {m \choose {m-1}} + (-1)^{m+1} {m \choose m}$,

ĉar ĝi estas en m-aroj en $A_1, A_2 \dots A_n$, ${m \choose 2}$ en aroj $A_i\cap A_j, 1 \le i < j \le n$ kpt.

Ĉar dunomo de Newton esprimo estas $1 - (1-1)^m = 1-0 = 1$, kio pruvas veron de Inkluziveco-ekskluda principo.