Integrala domajno

Integrala domajno estas (unuhavanta kaj komuta) ringo tiel, ke por ĉiuj a, b, $ab=0\implies a=0$ aŭ $b=0$. Ĉi tiu nocio utilas ĉar:

• Gravaj ringoj, kiel la entieroj kaj la reelaj polinomoj, estas integralaj domajnoj.

• La supra hipotezo implikas ecojn kiujn havas nur la integralaj domajnoj. Ekzemple, ĝi permesas aserti ke $ab=ac\implies a=0$ aŭ $b=c$, ĉar $a(b-c)=0\implies a=0$ aŭ $b-c=0$.

Do, tiu koncepto vidigas ke la fakto ke $ab=0\implies a=0$ aŭ $b=0$ estas unu el tiuj kiuj plikomprenigas la entjerojn, reelajn polinomojn kaj aliajn.

La kongruecaj klasoj de entjeroj je p estas integrala domajno se kaj nur se p estas primo (rimarku ke, se p estas primo, $p|ab\implies p|a$ aŭ $p|b$).

Pli ĝenerale, ĉiu korpo estas integrala domajno. Nun ebliĝas montri abstrakte ke la kongruecaj klasoj je p estas korpo. Jen:

Ĝenrala fakto: ĉiu finia aro kun domajnostrukturon estas korpo.

Pruvo: ĉiu $a\neq 0$ en integrala domajno ekzistigas disĵeta funkcio $A$ kiu sendas ĉiu $d$ en la domajno al $ad$. Ĉiu disĵeta funkcio kun finia fontaro estas inversigebla. Do, $A$ estas inversigebla. Tiel, $1$ estas bildo de iu $d$, kaj tiu elemento estas la inverso de $a$.