Invarianta teorio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, invarianta teorio signifas la studon de invariantaj algebraj prezentoj (ekvivalente, simetriaj tensoroj) por la ago de linearaj transformoj. Ĉi tio estas grava kampo de studo en la lasta parto de la dek-naŭa jarcento, kiam aperinta progreso en ĉi tiu aparta kampo (el la tuta aro de ebla matematikaj formulaĵoj de invarianto kun respekto al simetrio) estis la ŝlosila algoritma disciplino. Malgraŭ iuj heroaj klopodoj kies promesoj ne estis verigita, unu povas diri; sed multaj antaŭenigoj estis koneksaj. Aktualaj teorioj rilatantaj al la simetria grupo kaj simetriaj funkcioj, komuta algebro, modulaj spacoj kaj la prezentoj de grupoj de Lie venas de ĉi tiu areo.

En pli granda detaleco, por donita finidimensia vektora spaco V oni povas konsideri la simetrian algebron S(V), kaj la ago sur ĝi de Gl(V). Estas reale pli precize konsideri la projekcian prezenton de Gl(V), se oni deziras rezoni pri invariantoj: ĉi tio estas ĉar skalaro multipliko de la idento estos ago sur tensoro de rango r en S(V) tra la r-ona potenca pezo de la skalaro. La punkto estas tiam al difini la subalgebro de invariantoj I(V) por la (projekcia) ago. Oni estas, en klasika lingvo, rigardantaj je n-umoaj r-aĵoj, kie n estas la dimensio de V.

Nuntempe povus esti pli nature malkomponi la parton de S(V) de grado r en neredukteblajn prezentojn de Gl(V): la formulaĵo ĵus donita estas la sama kiel diri, ke oni estas koncernata nur kun la aperaĵon de unu-dimensiaj prezentoj. La prezenta teorio postulita venis poste, kvankam, kun Issai Schur.

Por doni la pli larĝan bildon: kio estis reale studita en la klasika fazo de invarianta teorio rilatas fakte al

 S(V) \otimes S(V^*)

kie V* estas la duala vektora spaco al V. Tio estas, la invariantoj kiel polinomoj koncernataj kontraŭgradientan aron de koordinatoj konvertantaj en duala maniero.

Estas kutime diri, ke la laboro de David Hilbert, pruvanta abstrakte, ke I(V) estas finie prezentata, metis finon al klasika invarianta teorio. Tio estas malproksima de la vero: la klasika epoko en la subjekto povis daŭri ĝis la finaj eldonoj de Alfred Young, je pli ol 50 jaroj poste. Eksplicitaj kalkuloj por apartaj celoj estas sciataj en modernaj tempoj (ekzemple de Shioda).

La moderna formulaĵo de geometria invarianta teorio estas pro al David Mumford, kaj emfazas la konstruadon de kvociento per la grupa ago kiu devus enkapti invariantan informon tra ĝia koordinata ringo. Ĝi estas subtila teorio, en, kiu sukceso estas ricevata per ekskludo de iuj 'malbonain' orbitoj kaj identigi aliajn kun 'bonaj' orbitoj. Apartigante evoluon de la signa maniero de invarianta teorio, videbla heŭristiko kombina notacio (skribmaniero), havas estas akirita.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]