Inversa elemento

Inversa elemento estas ĝeneraligo de inverso de nombro.

Estu $\diamondsuit$ signifas duargumenta operacio en aro S. Elemento x nomigas inversan elementon kontraŭ y se plenumas du kondiĉojn:

1. $x \;\diamondsuit\; y = e$,
2. $y \;\diamondsuit\; x = e$,

kaj $e$ signifas neŭtra elemento de operacio $\diamondsuit$.

Se operacio $\diamondsuit$ estas skribata per simboloj: $+, \; \oplus, \; \cup, \; \or$ por signifi ke operacio estas alsuma tiam inversa elemento estas nomata kontraŭa elemento kaj signifata per $-x$. Nomo inversa ofte estas uzata kiam estas uzata simboloj por multiplikado $*, \; \cdot, \; \otimes, \; \cap, \; \and, \; \star$ tiam inversa elemento estas signata per $x^{-1}$.

Unuflanka inversa elemento

Se estas plenumita nur unu el supera kondiĉojn, tiam oni difinas maldekstra inversa elemento (unua kondiĉo) kaj dekstra inversa elemento (dua kondiĉo).

Rimarku: elemento de aro povas havi multajn diversajn inversajn (mal)dekstrajn elementojn. Sed se operacio estas asocieca kaj elemento x havas maldekstran kaj dekstran elementon tiam ili estas egalaj kaj estas nur unu.

Ekzemploj

• Estu $\diamondsuit$ adicio de realaj nombroj. Elementemo inversa kontraŭ nombro $2$ estas nombro $-2$. Ĉar: $2+(-2)=0$ kaj $(-2)+2=0$ (nulo estas neŭtra elemento de adicio).
• Se $\diamondsuit$ estas multiplikado de realaj nombroj, tiam inversa elemento kontraŭ $2$ estas $1 \over 2$, ĉar $2 \cdot {1 \over 2} = {1 \over 2} \cdot 2 = 1$ (unu estas neŭtra elemento de multiplikado).

Lasta ekzemplo pruvas, ke ne ĉiu elemento devas havi inversa elemento – nombro nulo ne havas inversan elementon laŭ multiplikado.