Kalkula mezuro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, la kalkula mezuro estas intuicia vojo por fari mezuron sur iu aro: la "amplekso" de subaro estas prenita kiel kvanto de la subaraj eroj se ĝi finia, kaj ∞ se la subaro estas malfinia.

Formale, oni startu kun aro Ω kaj konsideru la σ algebron X sur Ω konsistantan de ĉiuj subaroj de Ω. Oni difinu mezuron μ sur ĉi tiu σ algebro per opcio μ(A) = |A| se A estas finia subaro de Ω kaj μ(A) = ∞ se A estas malfinia subaro de Ω. Tiam (Ω, X, μ) estas mezurhava spaco.

La kalkula mezuro permesas traduki multajn propoziciojn pri Lp-aj spacoj en pli kutimajn. Se Ω = {1,...,n} kaj S estas la mezurhava spaco kun la kalkula mezuro sur Ω, tiam Lp(S) estas la sama kiel Rn (aŭ Cn), kun normo difinita per

\|x\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^{1/p}

por x = (x1,...,xn).

Simile, se Ω estas estas la naturaj nombroj kaj S estas la mezurhava spaco kun la kalkula mezuro sur Ω, tiam Lp(S) konsistas de tiuj vicoj x = (xn) por kiu

\|x\|_p = \left ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p}

estas finia. Ĉi tiu spaco estas ofte skribita kiel \ell^p.