Karakteriza funkcio (probabloteorio)

En teorio de probabloj, la karakteriza funkcio de (ĉiu, iu) hazarda variablo plene difinas ĝian probablodistribuon. Sur la reala linio ĝi estas donita per jena formulo, kie X estas la hazarda variablo:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\,$

kie t estas reela nombro kaj E estas la atendata valoro.

Se F_X estas la tuteca distribua funkcio do la karakteriza funkcio estas donita per la integralo de Rimano-Stieltjes

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{\Omega }e^{itx}\,dF_{X}(x).\,$

En okazo de ekzisto de probablodensa funkcio, f_X, ĉi tio estas

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx.$

Se X estas vektoro-valora hazarda variablo, oni prenas la argumenton t kiel vektoro kaj tx al kiel skalara produto.

Ĉiu probablodistribuo sur R aŭ sur Rⁿ havas karakterizan funkcion, ĉar ĝi estas integrala barita funkcio super spaco kies mezuro estas finia.

La inversiga teoremo

Plue, estas reciproke unuvalora surĵeto inter tutecaj distribuaj funkcioj kaj karakterizaj funkcioj. En aliaj vortoj, du diversaj probablodistribuoj neniam havas la saman karakterizan funkcion kaj male.

Estu donita karakteriza funkcio φ, eblas rekonstrui la respektivan tutecan distribuan funkcion F:

$F_{X}(y)-F_{X}(x)=\lim _{\tau \to +\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\tau }^{+\tau }{\frac {e^{-itx}-e^{-ity}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt.$

Ĝenerale ĉi tio estas nepropra integralo; la funkcio kiu estas integralita povas esti nur kondiĉe integralebla ol lebege integralebla, do integralo de ĝia absoluta valoro povas esti malfinio.

La kontunueca teoremo

Se la vico de karakterizaj funkcioj de distribuoj F_n konverĝas al la karakteriza funkcio de distribuo F, tiam F_n(x) konverĝas al F(x) je ĉiu valoro de x je kiu F estas kontinua.

Uzo de karakterizaj funkcioj

Karakterizaj funkcioj estas aparte utilaj por laboro kun funkcioj de sendependaj hazarda variablo. Ekzemple, se X₁, X₂, ..., X_n estas vico de sendependaj (kaj ne nepre idente distribuitaj) hazardaj variabloj, kaj

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},$

kie a_mi estas konstantoj, do la karakteriza funkcio por S_n estas donita per

$\varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).$

Pro la kontunueca teoremo, karakterizaj funkcioj estas uzata en la plej ofta pruvo de la centrala limiga teoremo.

Karakterizaj funkcioj povas ankaŭ esti uzataj por trovi momantojn de hazarda variablo. Se n-a momanto ekzistas, karakteriza funkcio povas esti diferencialita n fojoj kaj

$\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=-i^{n}\,\varphi _{X}^{(n)}(0)=-i^{n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}.$

Rilataj konceptoj

La rilataj konceptoj estas la momanto-generanta funkcio kaj la probablo-generanta funkcio.

La karakteriza funkcio estas proksime rilatanta al la konverto de Fourier: la karakteriza funkcio de distribuo kun denseca funkcio f estas proporcia kun la inversa konverto de Fourier de f. Fakte, la distribua funkcio estas egala al la konverto de Fourier de la karakteriza funkcio (kun precizo de la konstanto de proporcieco kaj se la integralo estas difinita)

$f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t)\,e^{-itx}\,dt.$