Koŝia ĉefa valoro

En matematiko, la koŝia ĉefa valoro de certa nepropra integralo estas difinita kiel

• la finia nombro

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,dx\right]$

kie b estas punkto je kiu la konduto de la funkcio f estas tia ke

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\pm \infty$

por ĉiu A < b kaj

$\int _{b}^{c}f(x)\,dx=\mp \infty$

por ĉiu c > b (unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

aŭ

• la finia nombro

$\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx$

kie

$\int _{-\infty }^{0}f(x)\,dx=\pm \infty$

kaj

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=\mp \infty$

(denove, unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

En iuj okazoj necesas pritrakti samtempe kun specialaĵoj ambaŭ je finia nombro b kaj je malfinio. Ĉi tiu estas kutime farata per limigo de la formo

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\int _{b-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)\,dx.$

Skribado

La koŝia ĉefa valoro de funkcio f povas skribita per kelkaj notacioj, depende de la aŭtoroj. Ĉi tiuj sed ne nur variantoj estadas:

$PV\int f(x)dx$, $P$, P.V., ${\mathcal {P}}$, $P_{v}$, $(CPV)$ kaj V.P..

Ekzemploj

Konsideru la diferencon de valoroj de du limigoj:

$\lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0$

$\lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\log _{e}2$

La antaŭa estas la koŝia ĉefa valoro de la malbone difinita esprimo

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

Simile,

$\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0$

sed

$\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\log _{e}4$

La antaŭa estas la ĉefa valoro de la alia malbone difinita esprimo

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}$

Ĉi tiuj patologioj ne afliktas lebego-integraleblaj funkcioj, tio estas, funkcioj la integraloj de kies absolutaj valoroj estas finiaj.