Koŝia ĉefa valoro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, la koŝia ĉefa valoro de certa nepropra integralo estas difinita kiel

  • la finia nombro
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left[\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,dx\right]
kie b estas punkto je kiu la konduto de la funkcio f estas tia ke
\int_a^b f(x)\,dx=\pm\infty
por ĉiu A < b kaj
\int_b^c f(x)\,dx=\mp\infty
por ĉiu c > b (unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

  • la finia nombro
\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x)\,dx
kie
\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx=\pm\infty
kaj
\int_0^\infty f(x)\,dx=\mp\infty
(denove, unu signo estas "+" kaj la alia estas "−").

En iuj okazoj necesas pritrakti samtempe kun specialaĵoj ambaŭ je finia nombro b kaj je malfinio. Ĉi tiu estas kutime farata per limigo de la formo

\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{b-\frac{1}{\varepsilon}}^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^{b+\frac{1}{\varepsilon}}f(x)\,dx.

Skribado[redakti | redakti fonton]

La koŝia ĉefa valoro de funkcio f povas skribita per kelkaj skribmanieroj, depende de la aŭtoroj. Ĉi tiuj sed ne nur variantoj estadas:

PV \int f(x)dx, P, P.V., \mathcal{P}, P_v, (CPV) kaj V.P..

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Konsideru la diferencon de valoroj de du limigoj:

\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_a^1\frac{dx}{x}\right)=0
\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_{2a}^1\frac{dx}{x}\right)=-\log_e 2

La antaŭa estas la koŝia ĉefa valoro de la malbone difinita esprimo

\int_{-1}^1\frac{dx}{x}

Simile,

\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0

sed

\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\log_e 4

La antaŭa estas la ĉefa valoro de la alia malbone difinita esprimo

\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,dx}{x^2+1}

Ĉi tiuj patologioj ne afliktas lebego-integraleblaj funkcioj, tio estas, funkcioj la integraloj de kies absolutaj valoroj estas finiaj.