Kompakta spaco
En matematiko, subaro de eŭklida spaco Rn estas nomata kiel kompakta se ĝi estas fermita kaj samtempe barita. Ekzemple, en R fermita unuobla intervalo [0, 1] estas kompakta, sed aro de entjeroj Z ne estas kompakta ĉzr ĝi estas ne barita. Duono-malfermita intervalo [0, 1) ankaŭ ne estas kompakta ĉar ĝi estas ne fermita.
Pli moderna difino estas tiu ke oni nomas topologian spacon kiel kompakta se ĉiu el ĝiaj malfermitaj kovroj havas finian subkovron. La Heine–Borela teoremo atestas ke ĉi tiu difino koincidas kun "fermita kaj barita" por subaroj de eŭklida spaco.
Difinoj
Kompakteco de subaroj de Rn
Por ĉiu subaro de eŭklida spaco Rn, kvar jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:
- Ĉiu malfermita kovro havas finia subkovron. Ĉi tio estas la plej kutime uzata difino.
- Ĉiu vico en la aro havas konverĝan subvicon, la lima punkto de kiu apartenas al la aro.
- Ĉiu malfinia subaro de la aro havas akumuliĝan punkto en la aro.
- La aro estas fermita kaj barita. Ĉi tiu kondiĉo estas la plej facila por kontroli, ekzemple povas esti intervalo aŭ fermita n-pilko.
En alia spacoj ĉi tiuj kondiĉoj povas esti aŭ ne esti ekvivalentaj, depende de propraĵoj de la spaco.
Kompakteco de topologiaj spacoj
La propraĵo de "finia subkovro" de la antaŭa alineo estas pli abstrakta ol la "fermita kaj barita" , sed ĝi havas klaran avantaĝon tiun ke ĝi povas esti donita uzante subspacan topologion sur subaro de Rn, sen bezono de uzo de metriko aŭ ĉirkaŭa spaco. Tial, kompakteco estas topologia bieno. Fermita unuobla intervalo [0,1] estas kompakta, sendistinge de kiel ĝi estas enigita enen de R aŭ Rn.