Konverĝa serio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, serio estas sumo de eroj de vico de nombroj.

Por donita vico \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}, la n-a parta sumo Sn estas sumo de la unuaj n eroj de la vico, tio estas,

S_n = \sum_{k=1}^n a_k

Serio estas konverĝa se kaj nur se la vico de ĝiaj partaj sumoj \left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \} konverĝas (ekzistas limigo de vico). En pli formala lingvo, serio konverĝas se tie ekzistas limigo y tia ke por ĉiu ajne malgranda pozitiva nombro e, e>0, estas entjero N tia ke por ĉiuj n ≥ N,

\left | S_n - y \right \vert \le e

Serio kiu ne estas konverĝa estas malkonverĝa serio.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Vidigo de konverĝo ĝis 2, pri la geometria vico 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... .

Konverĝaj serioj

  • Inversoj de pozitivaj entjeroj kun alternaj signoj (alterna serio)
    {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots = \ln 2
  • Inversoj de pozitivaj neparaj entjeroj kun alternaj signoj
    {1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots = {\pi \over 4}

Malkonverĝaj serioj

  • Inversoj de pozitivaj entjeroj
    {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots

Konverĝaj testoj[redakti | redakti fonton]

Konverĝa testo estas maniero por difini ĉu serio konverĝas aŭ malkonverĝas

Kompara provo[redakti | redakti fonton]

Eroj de la vico \left \{ a_n \right \} estas komparataj al tiuj de la alia vico \left \{ b_n \right \}.

Se, por ĉiuj n, 0 \le \ a_n \le \ b_n kaj \sum_{n=1}^\infty b_n konverĝas, do \sum_{n=1}^\infty a_n konverĝas.

Se, por ĉiuj n, 0 \le \ b_n \le \ a_n, kaj \sum_{n=1}^\infty b_n malkonverĝas, do \sum_{n=1}^\infty a_n malkonverĝas.

Rilatuma provo[redakti | redakti fonton]

Se por ĉiu n, an>0 kaj ekzistas r tia ke

 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la rilatuma provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

Radika provo[redakti | redakti fonton]

Se por ĉiu n, an≥0 kaj ekzistas r tia ke

 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = r

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la radika provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

La rilatuma provo kaj la radika provo estas ambaŭ bazitaj sur komparo kun geometria serio, kaj tiel ili laboras en similaj situacioj. Se la rilatuma provo laboras (la limigo ekzistas kaj estas ne egala al 1) tiam laboras la radika provo. La reo tamen, estas ne vera. La radika provo estas pro tio pli ĝenerale aplikebla, sed kiel praktika materio la limigo estas ofte malfacila al komputi por kutime estantaj specoj de serioj.

Limiga kompara provo[redakti | redakti fonton]

Se por ĉiu n, an>0 kaj bn>0 kaj limigo \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} ekzistas kaj estas ne nulo, do \sum_{n=1}^\infty a_n konverĝas se kaj nur se \sum_{n=1}^\infty b_n konverĝas.

Alterna seria provokriterio de Leibniz[redakti | redakti fonton]

Por alterna serio de formo \sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n kie por ĉiu n an>0, se {an} estas monotone malkreskanta kaj havas limigon 0, do la serio konverĝas.

Integrala provo[redakti | redakti fonton]

La serio povas esti komparita al integralo. Se ekzistas pozitiva kaj monotone malkreskanta funkcio f(x) tia ke je ĉiuj pozitivaj entjeraj argumentoj ĝi egalas al eroj de la serio f(n) = an kaj se

\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty

tiam la serio konverĝas. Se la integralo malkonverĝas, tiam la serio malkonverĝas.

Koŝia konverĝa provo[redakti | redakti fonton]

Serio

\sum_{n=1}^\infty a_n

konverĝas se kaj nur se la vico de partaj sumoj estas koŝia vico.

Ĉi tio signifas ke por ĉiu  \varepsilon > 0 estas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj m kaj n tiaj ke n ≥ m ≥ N

 \left| \sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon

kio estas ekvivalento al

\lim_{n \to \infty \atop m\to \infty} \sum_{k=n}^{n+m} a_k = 0

Koŝia kondensa provo[redakti | redakti fonton]

Se {an} estas monotona malkreskanta vico, do  \sum_{n=1}^\infty a_n konverĝas se kaj nur se  \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} konverĝas.

Provo de Dirichlet[redakti | redakti fonton]

Abela provo[redakti | redakti fonton]

Provo de Raabe[redakti | redakti fonton]

Kondiĉa kaj absoluta konverĝo[redakti | redakti fonton]

Por ĉiu vico \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}, laŭ propraĵo de sumo de absolutaj valoroj (neegalaĵo de triangulo sur la kompleksa ebeno)

\left | \sum_{n=1}^\infty a_n \right | \le \ \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right |

Ĉi tio signifas ke se \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right | konverĝas, tiam ankaŭ \sum_{n=1}^\infty a_n konverĝas (sed ne inverse).

Se serio \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right | konverĝas, do serio \sum_{n=1}^\infty a_n estas absolute konverĝa. Absolute konverĝa vico estas tiu en kiu longo de linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas finia. Ekzemple, serio de Taylor de la eksponenta funkcio estas absolute konverĝa ĉie.

Se serio \sum_{n=1}^\infty a_n konverĝas sed serio \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right | malkonverĝas, do la serio \sum_{n=1}^\infty a_n estas kondiĉe konverĝa. La linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas malfinie longa. Ekzemple, serio de Taylor de logaritmo estas kondiĉe konverĝa.

La rimana seria teoremo statas ke se reela serio konverĝas kondiĉe, do eblas reordigi ĝiajn erojn tiel ke la serio konverĝu al ĉiu donita reela valoro, aŭ malkonverĝu.

Uniforma konverĝo[redakti | redakti fonton]

Estu \left \{ f_1,\ f_2,\ f_3,\dots \right \} vico de funkcioj.

La serio \sum_{n=1}^\infty f_n konverĝas unuforme al f se la vico {Sn} de partaj sumoj difinita per

 S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k (x)

konverĝas unuforme al f.

M-provo de Weierstrass estas analogo de la kompara provo por malfinia serio de funkcioj.

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]