Kupolo (geometrio)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Kupolo (geometrio)
Speco Malfinia aro de kupoloj
Verticoj 3n
Lateroj 5n
Edroj detale n trianguloj
n kvadratoj
1 n-plurlatero,
1 2n-plurlatero
Geometria simetria grupo Cnv
Propraĵoj Konveksa
v  d  r
Information icon.svg

En geometrio, kupolo estas pluredro formita el du paralelaj plurlateroj, unu (la bazo) kun dufoje pli multaj lateroj ol la alia (la supro), kaj de alterna bando de trianguloj kaj ortanguloj.

Kupoloj estas nomataj laŭ kvanto de lateroj de la supra plurlatero.

Se la trianguloj estas egallatera kaj la ortanguloj estas kvadratoj, kaj la bazo kaj ĝia kontraŭa edro estas regulaj plurlateroj, do la pluredro estas solido de Johnson. Ĉi tio povas esti nur kun 6, 8 kaj 10 - lateraj bazoj, do ĉi tiaj estas la triangula, kvadrato, kaj kvinlatera kupoloj. Ili povas esti formitaj kiel sekcoj de la kubokedro, rombokub-okedro, kaj rombo-dudek-dekduedro respektive.

Kupoloj estas subklaso de la prismosimilaĵoj.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Neklina triangula prismo - dulatera kupolo
Triangula kupolo kun regulaj edroj (J3)
Kvadrata kupolo kun regulaj edroj (J4)
Kvinlatera kupolo kun regulaj edroj (J5)

Triangula prismo estas dulatera kupolo, la bazo de la kupolo estas unu el la flankoj de la prismo kaj la kontraŭa latero estas la degenera supra edro.

La seslatera kupolo kun regulaj edroj estas ebena figuro.

Ebenaj seslateraj kupoloj en unu el duonregulaj ebenaj kahelaroj

Koordinatoj de la verticoj[redakti | redakti fonton]

Kvankam ĝenerale la difino de la kupolo ne postulas ke la bazo aŭ supro estas regula plurlatero, ĉi tie estas konsiderata okazo je kiu la kupolo havas maksimuman eblan simetrion Cnv kaj do la supro estas regula n-plurlatero kaj la bazo estas aŭ regula 2n-plurlatero aŭ 2n-plurlatero kiu havas du malsamajn laterajn longojn alterne kaj ĉiujn la samajn angulojn. La bazo kuŝu en la xy-ebeno kaj la supro kuŝu en ebeno paralela al la xy-ebeno. La z-akso estas la n-obla akso, kaj la spegulaj ebenoj trapasu la z-akson kaj dusekcu la lateroj de la bazo. Ili ankaŭ dusekcu flankojn aŭ angulojn de la supro. (Se n estas para, duono de la spegulaj planoj dusekcas laterojn de la supra plurlatero kaj duono dusekcas la angulojn. Se n estas nepara, ĉiu spegula ebeno dusekcas unu lateron kaj unu angulon de la supra plurlatero.) La verticoj de la bazo estu nomitaj kiel V1 ... V2n, verticoj de la supro povas estu V2n+1 tra V3n. Tiam la koordinatoj de la verticoj estas:

V2j-1: (rbcos (2π(j-1)/n + α), rbsin (2π(j-1)/n + α), 0) (j=1 … n);
V2j: (rbcos (2πj/n - α), rbsin (2πj/n - α), 0) (j=1 … n);
V2n+j: (rtcos (πj/n), rtsin (πj/n), h) (j=1 … n).

Ĉar plurlateroj V1V2V2n+2V2n+1, kaj tiel plu estas ortanguloj do estas limigo pri valoroj de rb, rt, kaj α. La distanco V1V2 estas egala al

rb((cos (2π/n - α) – cos α)2 + (sin (2π/n - α) - sin α)2)1/2
= rb((cos 2 (2π/n - α) – 2cos (2π/n - α)cos α + cos2 α) + (sin 2 (2π/n - α) – 2 sin (2π/n - α)sin α + sin 2α))1/2
= rb(2(1 – cos (2π/n - α)cos α – sin (2π/n - α)sin α))1/2
= rb(2(1 – cos (2π/n - 2α)))1/2

La distanco V2n+1V2n+2 estas egala al

rt((cos (π/n) – 1]2 + sin2(π/n)}1/2
= rt((cos2 (π/n) – 2cos (π/n) + 1) + sin2(π/n))1/2
= rt(2(1 – cos (π/n)))1/2.

Ili estas egalaj, kaj se ĉi ilia valoro estas s do

rb = s/(2(1 – cos (2π/n - 2α)))1/2
rt= s/(2(1 – cos (π/n)))1/2

Ĉi tiuj valoroj devas esti enigitaj en la esprimojn por la koordinatoj de la verticoj donitaj pli supre.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Kojno


Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]