Kurba integralo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, kurba integralo estas integralo komputita laŭ kurbo en ia spaco. Kurbaj integraloj estas uzataj en vektora kalkulo kaj kompleksa analitiko. En vektora kalkulo oni konsideras integralojn de skalaravektora kampoj sur multdimensia spaco; En kompleksa analitiko oni konsideras integralojn de holomorfaj funkcioj sur kompleksa ebeno.

Por kurba integralo oni uzas la normalan integralan simbolon \int. Kelkfoje, por integralo laŭ fermitaj kurboj (t.e., kurboj kies komenca kaj fina punktoj koincidas), oni uzas la specialan simbolon \oint.

Kurba integralo en vektora kalkulo[redakti | redakti fonton]

Supozu ke:

  • C\subset\mathbb R^n estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
  • f\colon C\to\mathbb R estas barita, kontinua (escepte sur nulmezura aro) skalara kampo.

Tiam oni konstruas sumon de Riemann jene. Parametrigu C kiel \vec\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R, kaj dividu [a,b] en n pecojn [t_i,t_{i+1}] kun t_{i+1}-t_i=(b-a)/n. Tiam la kurba integralo de skalara kampo f sur kurbo C difiniĝas kiel

\int_Cf=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(\gamma(t_i))|\vec\gamma(t_i)-\vec\gamma(t_{i+1})|.

Oni povas pruvi ke la sumo de Riemann ekzistas kaj ne dependas je elekto de parametrigo. Se la kurbo C estas pece glata, la difino simpliĝas al jena formulo:

\int_\gamma f\;\operatorname ds = \int_a^b f(\vec\gamma(t))|\gamma'(t)|\;\operatorname dt.

Anstataŭ skalaraj kampoj oni povas difini integralojn de vektoraj kampoj simile. Supozu ke:

Elektu parametrigon \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n kaj dividu [a,b] en n subintervalojn [t_i,t_{i+1}]. La kurba integralo de vektora kampo \vec F laŭ kurbo C difiniĝas jene:

\int_C\vec F(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\vec F(\gamma(t_i))\cdot\left(\vec\gamma(t_{i+1})-\vec\gamma(t_i)\right).

Simile, se la kurbo C estas pece glata:

\int_C\vec F(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x = \int_a^b\vec F(\vec\gamma(t))\cdot\vec\gamma'(t)\;\operatorname dt.

Se \vec F estas la gradiento de iu skalara kampo f, tio estas,

\vec F=\nabla f,

oni povas pruvi ke

\int_C\vec F(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x=f(\vec\gamma(b))-f(\vec\gamma(a)).

Mirinde, por gradientoj de skalaraj kampoj, la kurba integralo ne dependas je la preciza kurbo uzata sed nure je la finpunktoj \gamma(a) kaj \gamma(b) (kaj la orientado) de la kurbo.

Kompleksa analitiko[redakti | redakti fonton]

Supozu ke

  • C\subset\mathbb C estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
  • f\colon C\to\mathbb C estas kompleksvalora funkcio.

Parametrigu C kiel \gamma\colon[a,b]\to U, kaj dividu [a,b] en n pecojn [t_i,t_{i+1}]. La kurba integralo de f laŭ C difiniĝas kiel la sumo de Riemann

\int_Cf(z)\;\operatorname dz=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(\gamma(t_i))\left(\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)\right).

Se C estas peca glata, la difino simplifigas al:

\int_C f(z)\;\operatorname dz=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt.

Ekzemple, konsideru la funkcio f(z)=1/z. Difinu la kurbo C kiel maldekstrume orientita cirklo ĉirkaŭ 0. Ni povas parametrigi C kiel \gamma(t)=\exp(it) kun t\in[0,2\pi]. Ni trovas:

\oint_C f(z)\;\operatorname dz
=\int_0^{2\pi}\frac1{\exp it}i\exp(it)\;\operatorname dt
=i\int_0^{2\pi}\exp(-it)\exp(it)\;\operatorname dt
=i\int_0^{2\pi}\;\operatorname dt=2\pi i.

Tiu ĉi povas esti ankaŭ kontrolita per la teoremo de rekremento (vidu sube).

Teoremo de rekremento[redakti | redakti fonton]

Gravaj propozicioj pri kurbaj integraloj estas la koŝia integrala teoremo kaj la teoremo de rekremento (angle: residue).

La teoremo de rekremento donas ĝeneralan metodon kalkuli kurbajn integralojn de meromorfaj funkcioj. Precize, supozu ke

  • U\subset\mathbb C estas simple konektita malfermita aro;
  • a_1,\dots, a_n\in U;
  • f\colon(U\setminus a_1,\dots,a_n)\to\mathbb C estas holomorfa funkcio (t.e. meromorfa sur U kun polusoj a_k);
  • C\subset U\setminus a_1,\dots,a_n estas orientita fermita kurbo korektebla (t.e. kun finia longeco).

Tiam:

\oint_C f(z)\;\operatorname dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(C, a_k) 
\operatorname{Res}(f,a_k)

kie

  • \operatorname{I}(C,a_i) signifas la vindnombron (angle: winding number), t.e., \operatorname{I}(C,a_i)=0 se C ne serpentumas ĉirkaŭ a_i; \operatorname{I}(C,a_i)=n se C serpentumas ĉirkaŭ a_i n-foje maldekstrume (t.e. mallaŭhorloĝnadle); \operatorname{I}(C,a_i)=-n se C serpentumas n-foje dekstrume (t.e. laŭhorloĝnadle);
  • \operatorname{Res}(f,a_i) signifas la rekrementon (angle: residue) de f apud a_k, t.e., la valoron r\in\mathbb C tian ke f(z)-r/(z-a_i) havas holomorfa malderivaĵo apud a_i.

Speciale, se mankas la polusoj de f, tiam \oint f=0. Tio ĉi estas la koŝia integrala teoremo.

Pro la teoremo de rekremento, oni povas ofte uzi konturajn integralojn en la kompleksa ebeno por trovi integralojn de reelvaloraj funkcioj de reela variablo.

Ekzemple, ree konsideru la antaŭan ekzemplon, \int_C1/z\;\operatorname dz, kie C estas cirklo ĉirkaŭ 0. Ekzistas unu poluso de 1/z, t.e., ĉe 0. La rekremento \operatorname{Res}(1/z,0)=1, ĉar 1/z-1/(z-0)=0 havas holomorfan malderivaĵon 0. La vindnombro estas I(C,0)=1. Tial

\int_C1/z\;\operatorname dz=2\pi i.

Rilato inter vektora kaj kompleksa kurbaj integraloj[redakti | redakti fonton]

Oni povas identigi \mathbb R^2 kun \mathbb C. Konsideru orientitan korekteblan kurbon C\sub\mathbb R^2\cong\mathbb C kaj funkcion f\colon C\to\mathbb R^2\cong\mathbb C. Tiam:

\int_C\vec f(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x=\Re\int_C\bar f(z)\operatorname dz

kaj

\int_Cf(z)\operatorname dz=\int_C\vec{\bar f}(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x+i\int_C\overrightarrow{i\bar f}(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x

kie \vec{\bar f} estas \bar f vidita kiel vektora funkcio kaj \overrightarrow{i\bar f} estas i\bar f vidita kiel vektora funkcio.

Uzado en fiziko[redakti | redakti fonton]

La kurba integralo havas multajn aplikojn en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo C per forto \vec F estas \int_C\vec F(\vec x)\cdot\operatorname d\vec x. Se la forto estas gradiento de skalara kampo (t.e., potencialo), tiam la laboro ne dependas sur la preciza vojo de partiklo, nure sur la komenca kaj fina pozicioj de la partiklo.

Kurbaj integraloj estas gravaj ankaŭ en kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio. Ekzemple, kompleksaj kurbaj integraloj estas ofte uzataj kalkuli amplitudojn de probabloj en teorio de disĵetoj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]