Ekvivalentklaso

En matematiko, por aro X kaj ekvivalentrilato ~ sur X, la ekvivalentoklaso de la elemento a en X estas la subaro, kiu konsistas el ĉiuj elementoj x el X ekvivalentaj al a:

$[a]=\{x\in X|x\sim a\}.$

Tiam:

a~b se kaj nur se [a] = [b].

La aro de ĉiuj ekvivalentklasoj en X por donita ekvivalentrilato ~ estas la kvocienta aro de X per ~ kaj kutime estas skribata kiel X/~.

Ĉi tiu operacio povas esti konsiderata neformale kiel la divido de la aro per la ekvivalentrilato kaj la rezulto estas ne interkovrantaj ekvivalentoklasoj. De ĉi tie estas la nomo "kvocienta aro" kaj la skribmaniero. Se rezultiĝas finia kvanto de ekvivalentklasoj ĉiuj de la sama amplekso, do amplekso de la kvocienta egalas al amplekso de X dividita je amplekso de ĉiu ekvivalentklaso.

Por ĉiu ekvivalentrilato, estas kanona projekcio π de X al X/~ donita per π(x) = [x]. Ĉi tiu funkcio ĉiam estas surĵeto. En okazoj, kiam X havas iun aldonan strukturon, oni povas konsideri ekvivalentrilatojn, kiuj konservas ĉi tiun strukturon. Tiam oni diras, ke la strukturo estas bone difinita (aŭ kohere difinita), kaj la kvocienta aro heredas la strukturon kaj estas objekto de la sama kategorio en natura maniero. Vidu en kongrueca rilato.

Pli ekzakta notacio [a]_R povas esti uzata por priskribi, kiu rilato R difinas la ekvivalentklason.

Se ~ estas ekvivalentrilato sur X, kaj P(x) estas tia eco de elementoj x de X, ke por x~y la valido de P(x) garantias validon de P(y), tiam oni diras, ke la eco P estas bone difinita aŭ klasa invarianto sub la rilato ~.

Pli ĝenerale, por funkcio f el aro X al alia aro Y: se x₁ ~ x₂ implicas validon de f(x₁) = f(x₂), tiam f estas klasa invarianto sub ~, aŭ simple invarianto sub ~.

Ekzemploj

• Konsideru la modulan aritmetikon module n. Estu ekvivalentrilato sur la aro Z de entjeroj: x~y se kaj nur se x mod n = y mod n. Ĉi tiu rilato donas akurate n ekvivalentklasojn: [0] (nombroj kiuj dividiĝas je n), [1] (nombroj kiuj havas restaĵon 1 estante dividigataj je n), [2], [3], ... ,[n-1]. Ekvivalentklaso [n] estas la samo kiel [0] ĉar 0~n.
• La racionalaj nombroj povas esti konstruita kiel la aro de ekvivalentklasoj de ordigitaj duopoj, duopoj de entjeroj (a, b) kie b ne estas nulo, kun ekvivalentrilato (a, b) ~ (c, d) se kaj nur se ad=bc. La ekvivalentklaso de duopo (a, b) estas identigita kun racionala nombro a/b.
• Ĉiu funkcio f : X → Y difinas ekvivalentrilaton sur X piel x₁ ~ x₂ se kaj nur se f(x₁) = f(x₂). La ekvivalentklaso de x estas la aro [x] de eroj en X kiu estas la inversa bildo de f(x). Ĉi tiu ekvivalentrilato estas la kerno de funkcio de f.
  • Se f(x)=x², do por ĉiu x≠0 ekvivalentklaso de x estas aro [x]={x, -x} konsistanta el du eroj, kaj ekvivalentklaso de 0 estas aro [0]={0} konsistanta el unu ero.

Vidu ankaŭ

• Ekvivalentrilato