Laplaca konverto

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco

En matematiko, la Laplaca konverto, aŭ Laplaca transformo (laŭ PIV), estas pova teĥniko por analizi linearajn tempo-invariantajn linearajn sistemojn kiel elektrajn cirkvitojn, harmonajn oscilojn, optikajn aparatojn, kaj mekanikajn sistemojn, inter kelkaj aliaj. Sufiĉas konverti diferencialan ekvacion en la Laplacan domajnon por akiri ekvaciojn multe pli facile manipuleblajn. Donanta simplan matematikan funkcionalon priskribon de enigo aŭ eligo de la sistemo, la Laplaca transformo provizas alternativan priskribon, kiu ofte simpligas la procezon de la analizata konduto de la sistemo, aŭ ankoraŭ permesas sintezon de nova sistemo bazita sur aro da specifaĵoj.

La Laplaca transformo estas grava koncepto de la branĉo de matematiko nomita funkcionala analitiko.

La Laplaca transformo havas multajn gravajn aplikojn en fiziko, optiko, elektra inĝenierarto, aŭtomatigita regado, signal-prilaborado, kaj teorio de probabloj.

La termino laplaca transformo estas honore al franca matematikisto kaj astronomo Pierre-Simon Laplace, kiu uzis tiun transformon dum sia laboro pri la teorio de probablo, sed la eltrovo originis de svisa matematikisto Leonhard Euler. La transformo de Laplace aperas en ĉiuj kampoj de la matematika fiziko: esplorkampo al kiu Laplace kontribuis altmaniere.

Formala difino[redakti | redakti fonton]

En matematiko kaj aparte en analitiko, la Laplaca transformo (aŭ transformo de Laplace) (simbolata \mathcal{L}\{f(t)\}) de funkcio f dependanta de pozitiva reela variablo t ≥ 0 estas la funkcio F de la kompleksa variablo s, difinita per:

F(s) 
  = \mathcal{L}\{f(t)\}
  =\int_{0^-}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt .

La limsigno 0^- estas mallonga skribmaniero de meznombro :\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{-\varepsilon}^\infty. kaj certigas la inkluzivecon de la tuta Diraka delta funkcio  \delta (t) \ je 0 se estas tia impulso en f(t) je 0.

La parametro s estas kompleksa nombro:

s = \sigma + i \omega \, , kie σ kaj ω estas reelaj nombroj.

Tiu Laplaca transformo estas ankaŭ nomita unuflanka transformo de Laplace, ĉar la integralo koncernas nur pozitivan variablon, kontraŭe al la duflanka ("ambaŭflanka") konverto de Laplace, pri kiu la reela variablo ne estas limigita al nulo.

La proprecoj de tiu transformo eksplikas kial ĝi estas tiom utila por la analizoj de linearaj dinamikaj sistemoj. La plej interesa propreco estas, ke la malderivaĵo kaj la derivaĵo estas transformataj (konvertitaj) respektive je divido kaj multipliko per s, sammaniere ke logaritmo transformas multiplikon al adicio. Tiel ĝi permesas solvon de linearaj diferencialaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj per solvo de ekvacioj kun racionalaj funkcioj (t.e. rilatumo de polinomoj) de s).

Rimarko: dum la indikaĵo "s" (Laplaca variablo) estas komune uzata en multaj landoj, la notaĵo "p" estas ankaŭ uzata alie, aparte en Francio kaj Germanio.

Oni difinas ankaŭ la transformon de Laplace-Carson per [1] :

\phi(s)=s\int_0^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt \, , kio permesas ligi al ĉiu funkcio de variablo t\mapsto f(t) tian bildan funkcion s\mapsto \phi(s) .

Tia transformo estas prefere uzata de inĝenieroj, ĉar :

  • konstanto havas saman konstanton kiel laplacan bildon;
  • la unuoj estas konservitaj (samaj antaŭ kaj post transformo);
  • pli granda facileco dum matrica kaj tensora kalkulo.

Regiono de konverĝo[redakti | redakti fonton]

La Laplaca transformo F(s) tipe ekzistas por ĉiuj kompleksaj nombroj pri kiuj Re{s} > a, kie a estas reela konstanto, kiu dependas de la kreska konduto de f(t), dum la ambaŭflanka transformo estas difinita per du limoj a < Re{s} < b. La subaro de valoroj de s, por kiu la Laplaca transformo ekzistas, estas nomita la regiono de konverĝo, aŭ la domajno de konverĝo. Pri la duflanka kazo, ĝi estas iam nomita la bendo de konverĝo.

Estas ne specifaj kondiĉoj, kiuj povas sciigii totale ĉu Laplaca transformo de ia funkcio povas esti prenita, oni nur povas diri ĉu la difinanta integralo konverĝas. Estas tamen teoremoj por sciigi ĉu oni povas aŭ ne povas uzi ĝin.

Inversa Laplaca transformo[redakti | redakti fonton]

La inversa Laplaca transformo estas la transformo de Mellin (aŭ foje nomita integralo de Bromwich}, kiu permesas retrovi tempan funkcion de Laplaca transformo; ĝi estas integralo en la kompleksa ebeno donata per:

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
 = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds ,

kie  \gamma \ estas reela nombro, tiel ke la konturo de integralado estas en la regiono de konverĝo de  F(s) \ kaj tiel ke  \gamma > \operatorname{Re}(s_p) \ por ĉiu singulareco  s_p \ de  F(s) \ kaj \imath=\sqrt{-1}. Se ĉiuj nekontinuaĵoj) estas en la maldekstra duonebeno, tio estas  \operatorname{Re}(s_p) < 0 \ por ĉiu  s_p \ , tiam  \gamma \ povas esti aro de nuloj, kaj la pli supre inversa integrala formulo pli supre iĝas identa al la inversa transformo de Fourier.

kie \gamma estas elektita por ke la integralo konverĝu, kio implicas ke \gamma estu pli granda ol la reela parto de iu ajn neordinaraĵo de F(s).

Praktike, pri ĝeneralaj kazoj, oni alproksimigas formulojn en la Laplaca universo, kie troviĝas konataj formuloj por uzi la tabelon de inversaj konvertoj.

Duflanka Laplaca transformo[redakti | redakti fonton]

Kiam oni parolas pri "la Laplaca transformo" sen plia klarigo, la unuflanka transformo estas normale intencita. La Laplaca transformo povas esti alternative difinita kiel la ambaŭflanka Laplaca transformoduflanka Laplaca transformo per etenditaj limoj de integralado laŭ la tuta reela akso. Se tio estas farita, la komuna unuflanka transformo simple iĝas speciala kazo de la ambaŭflanka transformo, kie la funkcio estas multiplikita per la Hevisida ŝtupara funkcio ("funkcio de Heaviside").

Do la ambaŭflanka trasformo de Laplace estas aparta formo de la laplaca transformo, en kiu la integraĵo komenciĝas de minus infinito anstataŭ de nulo :

F(s) 
  = \mathcal{L}\{f\}(s)
  =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt \, .

Ĝia propreco estas simpligi matematikajn rezonojn, por komplementaj antaŭzorgoj, ĉar ĝi konverĝas nur kiam la funkcio malkreskas rapide (t.e. pli rapide ol eksponenta malkresko) ĝis nulo pri negativaj abscisaj valoroj.

Ĝi estas uzata interalie de aŭtomatikistoj [2] kaj ankaŭ uzata en statistiko, kie ĝi helpas difini la probablajn distribuojn.

Laplaca transformo de derivita funkcio[redakti | redakti fonton]

Estas oftoportune uzi la diferencialadan proprecon de la Laplaca transformo por trovi la transformon de derivita funkcio. Pri la unuflanka kazo, ĉi tiu rilato estas:

 \mathcal{L}\left\{ { df \over dt } \right\}
 = s \int_{0^-}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt - f(0) = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \} - f(0) \, ;

kaj pri la ambaŭflanka kazo, ni havas:

 \mathcal{L}\left\{ { df \over dt } \right\}
 = s \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \} \, .

Aplikoj[redakti | redakti fonton]

La transformo de Laplace estas ofte uzata en inĝenierado kaj fiziko por solvi diferencialajn ekvaciojn, kaj determini la transfaran funkcion de lineara sistemo. Ekzemple, en elektroniko, kontraŭe al la transformo de Fourier, kiu estas uzata por determini la frekvencan spektron de perioda signalo, ĝi traktas la ekfariĝan reĝimon, kiu okazas antaŭ la permanenta reĝimo (ekzemple: reago de signalo antaŭ kaj post la ŝalto de frekvenco-generatoro).

Jenoj ekzemploj derivitaj de aplikoj en fiziko kaj inĝenierado uzos la sistemon internacian de mezurunuoj . Sistemo Internacia de Unuoj estas bazita sur metroj por distanco, kilogramoj por maso, sekundoj por tempo, kaj amperoj por elektra kurento.

Ekzemplo #1: Solvante diferencialan ekvacion[redakti | redakti fonton]

Ekzemplo #2: Derivante la kompleksan impedancon por kondensatoro[redakti | redakti fonton]

Ekzemplo #3: Trovante la tradonan funkcion de impulsa respondo[redakti | redakti fonton]

Interrilato al aliaj transformoj[redakti | redakti fonton]

Transformo de Fourier[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Furiera transformo.

La kontinua furiera transformo estas ekvivalento al la ambaŭflanka Laplaca transformo kun kompleksa argumento s = i\omega:

F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\}
= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}
= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.

Notu ke ĉi tiu esprimo ekskludas la skalantan faktoron \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, kiu estas ofte inkluzivita en difinoj de la transformo de Fourier.

Ĉi tiu interrilato inter la Laplaca kaj Furiera transformoj estas ofte kutima kaj permesas difini la frekvencan spektron de signalo aŭ de lineara dinamika sistemo.

Transformo de Mellin[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Transformo de Mellin.

Z-transformo[redakti | redakti fonton]

La Z-transformo estas simple la Laplaca transformo de ideale specimenita signalo (el kiu rezultas la tiele nomitaj specimenojsamploj) kun la anstataŭo per z de la eksponenta funkcio

 z \equiv e^{s T} \

kie T = 1/f_s \ estas la specimenara periodo en unuoj de tempo (ekz. sekundoj) kaj  f_s \ estas la specimenara frekvenco (en specimenoj je sekundo aŭ hercoj)

Konsideru ni

 q(t) \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T)

specimenaran impulso-trajnon (ankaŭ nomitan Diraka kombilo, kie  \delta estas la diraka delta funkcio) kaj

 x_q(t) \equiv x(t) q(t) = x(t) \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T)
 = \sum_{n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T)

specimenaran prezenton de kontinua-tempa funkcio  x(t) \ , sekvas ke

 x[n] \equiv x(nT) \ estas la diskretaj specimenoj de  x(t) \ .

La Laplaca transformo de la specimenita signalo  x_q(t) \ estas

X_q(s) = \int_{0^-}^{\infty} x_q(t) e^{-s t} \,dt
 \ = \int_{0^-}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt
 \ = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \int_{0^-}^{\infty} \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt
 \ = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] e^{-n s T}.

Ĉi tiu estas precize la difino de la Z-transformo de la diskreta funkcio  x[n] \

 X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

kun la anstataŭo de  z \leftarrow e^{s T} \ .

Komparante la lastajn du ekvaciojn, ni trovas la interrilaton inter la Z-transformo kaj la Laplaca transformo de la specimenita signalo:

X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}} \ .

Borela transformo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Sumado de Borel.

Fundamentaj interrilatoj[redakti | redakti fonton]

Proprecoj kaj teoremoj[redakti | redakti fonton]

Lineareco[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  =a F(s) + b G(s)

Derivaĵo[redakti | redakti fonton]

Kalkulu ni:

\mathcal{L}\{f'\}
  = \int_0^{\infty} e^{-st} f'(t)\,dt\,.

Per poparta integralado oni obtenas :

\mathcal{L}\{f'\}
  = \left[e^{-st}f(t)\right]_0^\infty + s\int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt\,,

finfine per post sekvantaj derivaĵoj :

\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0^+) \, ,
\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0^+) - f'(0^+) \, ,
kaj pli ĝenerale:
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  =s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0) \, .

Frekvenca divido[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s) \, ,

kaj pri sekvantaj obloj de t:

\mathcal{L}\{ t^{n} f(t)\}
 = (-1)^{n} F^{(n)}(s) \, .

Frekvenca integralo[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \, .

Integralado[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\}
  = {1 \over s} F(s) \, ,
\mathcal{L}\left\{ \int_a^t f(\tau) d\tau \right\}
  = {1 \over s} F(s)+ {1 \over s}\int_a^0 f(\tau)d\tau \, .

Skalanta faktoro[redakti | redakti fonton]

 \mathcal{L} \left\{ f(at) \right\} = {1 \over a} F \left ( {s \over a} \right ) \, .

Teoremo de la fina valoro[redakti | redakti fonton]

Se limo estas en la tempa domajno, tiam :

f(\infty)=\lim_{t \to +\infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s) \, .
La fina valora teoremo estas utila, ĉar ĝi donas la longtempan konduton sen bezono de parta frakcio aŭ de alia malfacila algebro.

Teoremo de la komenca valoro[redakti | redakti fonton]

Si limo estas al la momento t=0 en la tempa domajno, tiam :

f(0^+)=\lim_{t \to 0+} f(t)=\lim_{s \to +\infty} sF(s)\, .

Frekvenca ŝovo[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}
 = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}
 = e^{at} f(t)\, .

Tempa ŝovo[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
 = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
 = f(t - a) u(t - a)
Notu: u(t) estas la Hevisida ŝtupara funkcio (funkcio de unuvalora ŝtupo).
\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]

Kunfaldaĵo[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\}
  = F(s) \cdot G(s) \, .

Oni devas esti atenta pri sistemoj al kiuj estas difinitaj la funkcioj f et g. Fakte, la kunfaldaĵo kaj la Laplaca konverto imponas kondiĉojn ne ĉiam kongruantajn. Pli simple, estas difini ilin sur \mathbb{R}, kaj multipli ilin antaŭe per la funkcio .

Perioda funkcio de periodo T[redakti | redakti fonton]

\mathcal{L}\{ f \}
 = {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt \, .
  • Oni povas demonstri la formulon tiamaniere:
\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u}+\int_{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+T}\int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+2T}+...\,
\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+\int_{0}^{T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int_{0}^{T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,
\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+...\, ;

oni grupigas la termojn :

\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-sT}+...)\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du{\mid}_{u=t} \, ,

tial, \mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt \, .

Tabelo de kelkaj kutimaj Laplacaj transformoj[redakti | redakti fonton]

La transformo de Laplace validas nur pri valoroj de t pli granda ol 0-, estas kial ĉiuj funkcioj de la sekvanta tabelo estas oblo de u(t) , funkcio de Heaviside (nekontinua funkcio kies valoro estas nul por negativa argumento, kaj unu por pozitiva argumento).

Funkcio Tempa domajno
x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}
Laplaca transformo
X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}
Regiono de konverĝo
1 ideala malfruo  \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \
1a unuo-impulso  \delta(t) \  1 \  \forall \  s \,
2 n-a potenco de malfruo kun frekvenca ŝovo \frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)  \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
2a n-a potenco
( n entjero )
{  t^n \over n! } \cdot u(t)  { 1 \over s^{n+1} }  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
2a.1 q-a potenco
( q komplekso )
{  t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)  { 1 \over s^{q+1} }  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
2a.2 funkcio de Heaviside (unuvalora ŝtupo)  u(t) \  { 1 \over s }  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
2b malfruigita ŝtupo  u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s }  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
2c deklivo  t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2}  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
2d malfruo kun frekvenca ŝovo \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(p+\alpha)^{n+1}}  \operatorname{Re} (s) > - \alpha \,
2d.1 eksponenta malkresko  e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \  { 1 \over s+\alpha }   \operatorname{Re} (s) > - \alpha \
3 eksponenta asimptotiĝo ( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}   \operatorname{Re} (s) > 0\
4 sinuso  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  }  \operatorname{Re} (s) > 0  \
5 kosinuso  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  }  \operatorname{Re} (s) > 0 \
6 hiperbola sinuso  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }  \operatorname{Re} (s) > | \alpha | \
7 hiperbola kosinuso  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  }  \operatorname{Re} (s) > | \alpha | \
8 eksponenta malkresko
de sinusa ondo
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  \operatorname{Re} (s) > -\alpha \
9 eksponenta malkresko
de kosinusa ondo
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  \operatorname{Re} (s) > -\alpha \
10 n-a radiko  \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  s^{-(s+1)/s} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{s}\right)  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
11 natura logaritmo  \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)  - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ]  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
12 Funkcio de Bessel
de unua speco,
pri ordo n
 J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
 (n > -1) \,
13 Aliigita funkcio de Bessel
de unua speco,
pri ordo n
I_n(\omega t) \cdot u(t)  \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}  \operatorname{Re} (s) > | \omega | \,
14 Funkcio de eraro  \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)     {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}  \operatorname{Re} (s) > 0 \,
Notes:


Referencoj[redakti | redakti fonton]

  1. M. Denis-Papin et A. Kaufmann, Cours de calcul opérationnel appliqué (Kurso pri aplikata kalkulado), Eldonaro Albin Michel, Parizo, 1967 (france)
  2. Raymond Hanus & Philippe Bogaerts, Introduction à l'automatique (Enduko al aŭtomatiko) - vol 1. Kontinuaj sistemoj, Universitato De Boek , 1996 (france)
  • A. Don/Doña _Polyanin kaj A. V. Manzhirov, Gvidlibro de Integralaj Ekvacioj, CRC Premi, Boca Raton_, (1998, Kategorio:1998). ISBN 0-8493-2876-4
  • Vilhelmo _McC. Siebert, Cirkvitoj, Signaloj, kaj Sistemoj, MIT Premi, Kembriĝo (Masaĉuseco), (1986, Kategorio:1986). ISBN 0-262-19229-2

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]