Laplaca transformo

En matematiko, la Laplaca konverto, aŭ Laplaca transformo (laŭ PIV), estas pova tekniko por analizi linearajn tempo-invariantajn linearajn sistemojn kiel elektrajn cirkvitojn, harmonajn oscilojn, optikajn aparatojn, kaj mekanikajn sistemojn, inter kelkaj aliaj. Sufiĉas konverti diferencialan ekvacion en la Laplacan domajnon por akiri ekvaciojn multe pli facile manipuleblajn. Donanta simplan matematikan funkcionalon priskribon de enigo aŭ eligo de la sistemo, la Laplaca konverto provizas alternativan priskribon kiu ofte simpligas la procezon de la analizata konduto de la sistemo, aŭ ankoraŭ permesas sintezon de nova sistemo bazita sur aro de specifaĵoj.

La Laplaca konverto estas grava koncepto de la branĉo de matematiko nomita funkcionala analitiko.

La Laplaca konverto havas multajn gravajn aplikojn en fiziko, optiko, elektra inĝenierarto, aŭtomatigita regado, signal-prilaborado, kaj teorio de probabloj.

La termino laplaca konverto estas honore al franca matematikisto kaj astronomo Pierre-Simon Laplace, kiu uzis tiun konverton dum sia laboro pri la teorio de probablo, sed la eltrovo originis de svisa matematikisto Leonhard Euler. La konverto de Laplace aperas en ĉiuj kampoj de la matematika fiziko: esplorkampo al kiu Laplace kontribuis altmaniere.

Formala difino

En matematiko kaj aparte en analitiko, la Laplaca konverto (aŭ konverto de Laplace) (simbolata ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$) de funkcio $f$ dependanta de pozitiva reela variablo t ≥ 0 estas la funkcio $F$ de la kompleksa variablo s, difinita per:

$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0^{-}}^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

La limsigno $0^{-}$ estas mallonga skribmaniero de meznombro :$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.$ kaj certigas la inkluzivecon de la tuta Diraka delta funkcio $\delta (t)\$ je 0 se estas tia impulso en f(t) je 0.

La parametro s estas kompleksa nombro:

$s=\sigma +i\omega \,$ , kie σ kaj ω estas reelaj nombroj.

Tiu Laplaca konverto estas ankaŭ nomita unuflanka konverto de Laplace, ĉar la integralo koncernas nur pozitivan variablon, kontraŭe al la duflanka ("ambaŭflanka") konverto de Laplace, pri kiu la reela variablo ne estas limigita al nulo.

La proprecoj de tiu konverto eksplikas kial ĝi estas tiom utila por la analizoj de linearaj dinamikaj sistemoj. La plej interesa propreco estas ke la malderivaĵo kaj la derivaĵo estas transformataj (konvertitaj) respektive je divido kaj multipliko per s, sammaniere ke logaritmo transformas multiplikon al adicio. Tiel ĝi permesas solvon de linearaj diferencialaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj per solvo de ekvacioj kun racionalaj funkcioj (t.e. rilatumo de polinomoj) de s).

Rimarko: dum la indikaĵo "s" (Laplaca variablo) estas komune uzita en multaj landoj, la notaĵo "p" estas ankaŭ uzita alie, aparte en Francio kaj Germanio.

Oni difinas ankaŭ la konverton de Laplace-Carson per  :

$\phi (s)=s\int _{0}^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt\,,$ kio permesas ligi al ĉiu funkcio de variablo $t\mapsto f(t)$ tian bildan funkcion $s\mapsto \phi (s)$ .

Tia konverto estas prefere uzita de inĝenieroj, ĉar :

• konstanto havas saman konstanton kiel laplacan bildon;
• la unuoj estas konservitaj (samaj antaŭ kaj post konverto);
• pli granda facileco dum matrica kaj tensora kalkulo.

Regiono de konverĝo

La Laplaca konverto F(s) tipe ekzistas por ĉiuj kompleksaj nombroj pri kiuj Re{s} > a, kie a estas reela konstanto kiu dependas de la kreska konduto de f(t), dum la ambaŭflanka konverto estas difinita per du limoj a < Re{s} < b. La subaro de valoroj de s por kiu la Laplaca konverto ekzistas estas nomita la regiono de konverĝo, aŭ la domajno de konverĝo. Pri la duflanka kazo, ĝi estas iam nomita la bendo de konverĝo.

Estas ne specifaj kondiĉoj kiuj povas sciigii totale ĉu Laplaca konverto de ia funkcio povas esti prenita, oni nur povas diri ĉu la difinanta integralo konverĝas. Estas tamen teoremoj por sciigi ĉu oni povas aŭ ne povas uzi ĝin.

Inversa Laplaca konverto

La inversa Laplaca konverto estas la Mellin-a konverto (aŭ foje nomita Bromwich-a integralo}, kiu permesas retrovi tempan funkcion de Laplaca konverto; ĝi estas integralo en la kompleksa ebeno donita per:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\gamma -\imath \infty }^{\gamma +\imath \infty }e^{st}F(s)\,ds,$

kie $\gamma \$ estas reela nombro, tiel ke la konturo de integralado estas en la regiono de konverĝo de $F(s)\$ kaj tiel ke $\gamma >\operatorname {Re} (s_{p})\$ por ĉiu singulareco $s_{p}\$ de $F(s)\$ kaj $\imath ={\sqrt {-1}}$. Se ĉiuj nekontinuaĵoj) estas en la maldekstra duonebeno, tio estas $\operatorname {Re} (s_{p})<0\$ por ĉiu $s_{p}\$, tiam $\gamma \$ povas esti aro de nuloj, kaj la pli supre inversa integrala formulo pli supre iĝas identa al la inversa konverto de Fourier.

kie $\gamma$ estas elektita por ke la integralo konverĝu, kio implicas ke $\gamma$ estu pli granda ol la reela parto de iu ajn neordinaraĵo de F(s).

Praktike, pri ĝeneralaj kazoj, oni alproksimigas formulojn en la Laplaca universo, kie troviĝas konataj formuloj por uzi la tabelon de inversaj konvertoj.

Duflanka Laplaca konverto

Kiam oni parolas pri "la Laplaca konverto" sen plia klarigo, la unuflanka konverto estas normale intencita. La Laplaca konverto povas esti alternative difinita kiel la ambaŭflanka Laplaca konverto aŭ duflanka Laplaca konverto per etenditaj limoj de integralado laŭ la tuta reela akso. Se tio estas farita, la komuna unuflanka konverto simple iĝas speciala kazo de la ambaŭflanka konverto kie la funkcio estas multiplikita per la Hevisida ŝtupara funkcio ("funkcio de Heaviside").

Do la ambaŭflanka konverto de Laplace estas aparta formo de la laplaca konverto, en kiu la integraĵo komenciĝas de minus infinito anstataŭ de nulo :

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt\,.$

Ĝia propraĵo estas simpligi matematikajn rezonojn, por komplementaj antaŭzorgoj, ĉar ĝi konverĝas nur kiam la funkcio malkreskas rapide (t.e. pli rapide ol eksponenta malkresko) ĝis nulo pri negativaj abscisaj valoroj.

Ĝi estas uzata interalie de aŭtomatikistoj kaj ankaŭ uzata en statistiko, kie ĝi helpas difini la probablajn distribuojn.

Laplaca konverto de derivita funkcio

Estas oftoportune uzi la diferencialadan proprecon de la Laplaca konverto por trovi la konverton de derivita funkcio. Pri la unuflanka kazo, ĉi tiu rilato estas:

${\mathcal {L}}\left\{{df \over dt}\right\}=s\int _{0^{-}}^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt-f(0)=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)\,;$

kaj pri la ambaŭflanka kazo, ni havas:

${\mathcal {L}}\left\{{df \over dt}\right\}=s\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}\,.$

Aplikoj

La konverto de Laplace estas ofte uzita en inĝenierado kaj fiziko por solvi diferencialajn ekvaciojn, kaj determini la transfaran funkcion de lineara sistemo. Ekzemple, en elektroniko, kontraŭe al la konverto de Fourier kiu estas uzita por determini la frekvencan spektron de perioda signalo, ĝi traktas la ekfariĝan reĝimon kiu okazas antaŭ la permanenta reĝimo (ekzemple: reago de signalo antaŭ kaj post la ŝalto de frekvenco-generatoro).

Jenoj ekzemploj derivitaj de aplikoj en fiziko kaj inĝenierado uzos la sistemon internacian de mezurunuoj . Sistemo Internacia de Unuoj estas bazita sur metroj por distanco, kilogramoj por maso, sekundoj por tempo, kaj amperoj por elektra kurento.

Interrilato al aliaj konvertoj

Konverto de Fourier

La kontinua fourier-a konverto estas ekvivalento al la ambaŭflanka Laplaca konverto kun kompleksa argumento $s=i\omega$:

$F(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}$

$={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }$

$=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.$

Notu ke ĉi tiu esprimo ekskludas la skalantan faktoron ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$, kiu estas ofte inkluzivita en difinoj de la Konverto de Fourier.

Ĉi tiu interrilato inter la Laplaca kaj Fourier-a konvertoj estas ofte kutima kaj permesas difini la frekvencan spektron de signalo aŭ de lineara dinamika sistemo.

Proprecoj kaj teoremoj

Lineareco

${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=aF(s)+bG(s)$

Derivaĵo

Kalkulu ni:

${\mathcal {L}}\{f'\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,dt\,.$

Per poparta integralado oni obtenas :

${\mathcal {L}}\{f'\}=\left[e^{-st}f(t)\right]_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\,,$

finfine per post sekvantaj derivaĵoj :

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0^{+})\,,$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0^{+})-f'(0^{+})\,,$

kaj pli ĝenerale:

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\,.$

Frekvenca divido

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)\,,$

kaj pri sekvantaj obloj de t:

${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)\,.$

Frekvenca integralo

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \,.$

Integralado

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}F(s)\,,$

${\mathcal {L}}\left\{\int _{a}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}F(s)+{1 \over s}\int _{a}^{0}f(\tau )d\tau \,.$

Skalanta faktoro

${\mathcal {L}}\left\{f(at)\right\}={1 \over a}F\left({s \over a}\right)\,.$

Teoremo de la fina valoro

Se limo estas en la tempa domajno, tiam :

$f(\infty )=\lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{s\to 0}sF(s)\,.$

La fina valora teoremo estas utila, ĉar ĝi donas la longtempan konduton sen bezono de parta frakcio aŭ de alia malfacila algebro.

Teoremo de la komenca valoro

Si limo estas al la momento t=0 en la tempa domajno, tiam :

$f(0^{+})=\lim _{t\to 0+}f(t)=\lim _{s\to +\infty }sF(s)\,.$

Frekvenca ŝovo

${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{at}f(t)\,.$

Tempa ŝovo

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$

Notu: $u(t)$ estas la Hevisida ŝtupara funkcio (funkcio de unuvalora ŝtupo).

• Pri la $n$-a potenco

${\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]$

Kunfaldaĵo

${\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)\cdot G(s)\,.$

Oni devas esti atenta pri sistemoj al kiuj estas difinitaj la funkcioj $f$ et $g$. Fakte, la kunfaldaĵo kaj la Laplaca konverto imponas kondiĉojn ne ĉiam kongruantajn. Pli simple, estas difini ilin sur $\mathbb {R}$, kaj multipli ilin antaŭe per la funkcio .

Perioda funkcio de periodo $T$

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt\,.$

• Oni povas demonstri la formulon tiamaniere:

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\int _{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\int _{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+\int _{0}^{T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int _{0}^{T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,$

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+...\,;$

oni grupigas la termojn :

${\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-sT}+...)\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du{\mid }_{u=t}\,,$

tial, ${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt\,.$

Tabelo de kelkaj kutimaj Laplacaj konvertoj

La konverto de Laplace validas nur pri valoroj de t pli granda ol 0^-, estas kial ĉiuj funkcioj de la sekvanta tabelo estas oblo de u(t)' , funkcio de Heaviside (nekontinua funkcio kies valoro estas nul por negativa argumento, kaj unu por pozitiva argumento).

	Funkcio	Tempa domajno $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	Laplaca konverto $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	Regiono de konverĝo
1	ideala malfruo	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	unuo- impulso]]	$\delta (t)\$	$1\$	$\forall \ s\,$
2	n-a potenco de malfruo kun frekvenca ŝovo	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
2a	n-a potenco ( n entjero )	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
2a.1	q-a potenco ( q komplekso )	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
2a.2	unuvalora ŝtupo	$u(t)\$	${1 \over s}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
2b	malfruigita ŝtupo	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
2c	deklivo	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
2d	malfruo kun frekvenca ŝovo	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(p+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha \,$
2d.1	eksponenta malkresko	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha \$
3	eksponenta asimptotiĝo	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
4	sinuso	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
5	kosinuso	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\$
6	hiperbola sinuso	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>|\alpha |\$
7	hiperbola kosinuso	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>|\alpha |\$
8	eksponenta malkresko de sinusa ondo	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha \$
9	eksponenta malkresko de kosinusa ondo	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha \$
10	n-a radiko	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(s+1)/s}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{s}}\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
11	natura logaritmo	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
12	Funkcio de Bessel de unua speco, pri ordo n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$ $(n>-1)\,$
13	Aliigita funkcio de Bessel de unua speco, pri ordo n	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>|\omega |\,$
14	Funkcio de eraro	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$\operatorname {Re} (s)>0\,$
Notes: $u(t)\,$ estas la funkcio de Heaviside (unuvalora ŝtupo-funkcio). $\delta (t)\,$ estas la funkcio de Dirac (unuobla impulsa funkcio). $\Gamma (z)\,$ est la Gamo-funkcio. $\gamma \,$ est la konstanto de Eŭlero-Mascheroni. $t\,$, estas reela nombro kiu ĝenerale reprezentas la tempon, sed povas signifi iun ajn alian kvanton. $s\,$ estas kompleksa nombro. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, et $\omega \,$ estas reelaj nombroj. $n\,$ estas entjero.

Referencoj

• A. Don/Doña _Polyanin kaj A. V. Manzhirov, Gvidlibro de Integralaj Ekvacioj, CRC Premi, Boca Raton_, (1998, Kategorio:1998). ISBN 0-8493-2876-4
• Vilhelmo _McC. Siebert, Cirkvitoj, Signaloj, kaj Sistemoj, MIT Premi, Kembriĝo (Masaĉuseco), (1986, Kategorio:1986). ISBN 0-262-19229-2

Vidu ankaŭ

• Analitiko
• Diferencialaj ekvacioj
• Linearaj tempo-invariantaj sistemoj
• Tradona funkcio
• Konverto de Fourier
• Konverto de Mellin
• Z-konverto
• Pierre-Simon Laplace
• Leonhard EULER

Eksteraj ligiloj

• Konverto de Laplace aplikita al elektronikaj cirkvitoj (france)
• Surlinia Kalkulado de la konverto aŭ la inversa konverto, je Wims.unice.fr
• (Tabeloj de integralaj konvertoj) je EqWorld: La Mondo de Matematikaj Ekvacioj.
• Laplaca konverto (Tabelo) je eFunda: Inĝenieradaj Fundamentoj.