Listo de regulaj hiperpluredroj

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Ĉi tio estas listo de la regulaj hiperpluredroj en eŭklida, sfera kaj hiperbola spacoj.

La simbolo de Schläfli priskribas ĉiun regulan hiperpluredron kaj estas uzata kiel referenca nomo por ĉiu hiperpluredro.

La regulaj hiperpluredroj estas grupitaj laŭ dimensio kaj subgrupitaj je konveksaj, nekonveksaj kaj malfiniaj formoj. Nekonveksa (formoj, formas) uzi la samaj verticoj kiel la konveksaj formoj, sed havas sekcantajn facetojn. Malfiniaj formoj kahelas spacon de dimensio je 1 pli malgranda.

Malfiniaj formoj povas kaheli eŭklidan aŭ hiperbolan spacon. Hiperbola spaco similas al normala spaco je malgranda skalo, sed paraleloj diverĝas je grandaj distancoj. Ĉi tio permesas al verticaj figuroj havi negativan angulan difekton.

Ekzemple povas esti vertico kun 7 egallateraj trianguloj kiuj kuŝas en la hiperbola ebeno. Ĉi tio ne povas esti farita en regula ebeno.

Kvantoj de regulaj hiperpluredroj en diversaj dimensioj[redakti | redakti fonton]

Dimensio Konveksaj hiperpluredroj Nekonveksaj hiperpluredroj Konveksaj eŭklidaj kahelaroj Konveksaj hiperbolaj kahelaroj Nekonveksaj hiperbolaj kahelaroj
2 ∞ konveksaj regulaj plurlateroj ∞ regulaj stelaj plurlateroj 1 1
3 5 platonaj solidoj 4 solidoj de Keplero-Poinsot 3 kahelaroj
4 6 konveksaj regulaj plurĉeloj 10 plurĉeloj de Schläfli-Hess 1 kahelaro 4 0
5 3 konveksaj regulaj 5-hiperpluredroj 0 nekonveksaj regulaj 5-hiperpluredroj 3 kahelaroj 5 4
6+ 3 0 1 0 0

2-dimensiaj regulaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

La du dimensiaj hiperpluredroj estas nomataj kiel plurlateroj. Regulaj plurlateroj estas egallateraj kaj ciklaj.

Estadas regulaj konveksaj plurlateroj kaj nekonveksaj stelaj plurlateroj. Stelaj plurlateroj uzas la samajn verticojn kiel la konveksaj formoj, sed trakonektas ilin en alternaj ordoj kun kelkaj pasoj ĉirkaŭ la cirklo.

3-dimensiaj regulaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

En 3 dimensioj, la hiperpluredroj estas nomataj kiel pluredroj:

Regula pluredro kun simbolo de Schläfli {p,q} havas regulan edron de speco {p} kaj regulan vertican figuron {q}.

Vertica figuro de pluredro estas plurlatero, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico. Por regulaj pluredroj ĉi tiu vertica figuro estas ĉiam regula ebena plurlatero.

Ekzisto de regula pluredro {p,q} estas limigita de neegalaĵo, rilatanta al angula difekto de ;a vertica figuro:

  • 1/p + 1/q > 1/2 : kahelaro de 2-sfero aŭ respektiva pluredro (ekzistanta en eŭklida 3-spaco)
  • 1/p + 1/q = 1/2 : eŭklida ebena kahelaro
  • 1/p + 1/q < 1/2 : hiperbola ebena kahelaro

Per listigo de la permutoj, oni trovas 5 konveksajn formojn, 4 nekonveksajn formojn kaj 3 ebenajn kaheladojn. La valoroj p kaj q estas limigitaj al tiuj de opo 3, 4, 5, 5/2, 6.

Ekzistas malfinia aro de regulaj hiperbolaj kahelaroj por pli grandaj p kaj q.

4-dimensiaj regulaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

En 4 dimensioj, la hiperpluredroj estas nomataj kiel plurĉeloj:

Regulaj plurĉeloj kun simbolo de Schläfli simbolo {p,q,r} havas ĉelojn de speco {p,q}, edrojn de speco {p}, laterajn figurojn {r} kaj verticajn figurojn {q,r}.

Vertica figuro de plurĉelo estas pluredro, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico. Por regulaj plurĉeloj, ĉi tiu vertica figuro estas regula pluredro.
Latera figuro de plurĉelo estas plurlatero, donanta la ordigon de edroj ĉirkaŭ latero. Por regulaj plurĉeloj, ĉi tiu latera figuro estas regula plurlatero.

Ekzisto de regula plurĉelo {p,q,r} estas limigita per ekzisto de regulaj pluredroj {p,q} kaj {q,r}.

Speco de plurĉelo dependas de ĉi tiu valoro:

  • \sin \left ( \frac{\pi}{p} \right ) \sin \left(\frac{\pi}{r}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{q}\right)
    • > 0 : kahelaro de 3-sfero aŭ respektiva plurĉelo en 4-spaco
    • = 0 : eŭklida 3-spaca kahelaro
    • < 0 : hiperbola 3-spaca kahelaro

Ĉi tiuj limigoj donas 21 formojn: 6 estas konveksa, 10 estas nekonveksa, 1 estas eŭklida 3-spaca kahelaro, 4 estas hiperbolaj 3-spacaj kahelaroj.

La eŭlera karakterizo χ por plurĉeloj estas

χ = V+E-L-C
kie V estas kvanto de verticoj
E estas kvanto de edroj
L estas kvanto de lateroj
C estas kvanto de ĉeloj

kaj estas nulo por ĉiuj formoj

5-dimensiaj regulaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

En 5 dimensioj, regula hiperpluredro povas esti priskribata kiel {p,q,r,s} kie {p,q,r} estas speco de la hiperĉeloj, {p,q} estas speco de la ĉeloj, {p} estas speco de la edroj, {s} estas la edra figuro, {r,s} estas la randa figuro, {q,r,s} estas la vertica figuro.

Vertica figuro de 5-hiperpluredro estas plurĉelo, farita de verticoj konektantaj al iu donita vertico.
Latera figuro de 5-hiperpluredro estas pluredro, donanta la ordigon de edroj ĉirkaŭ latero.
Edra figuro de 5-hiperpluredro estas plurlatero, donanta la ordigon de ĉeloj ĉirkaŭ edro.

Regula hiperpluredro {p,q,r,s} ekzistas nur se {p,q,r} kaj {q,r,s} estas regulaj plurĉeloj.

Speco de 5-hiperpluredro dependas de ĉi tiu valoro:

  • \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{q}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{p}\right)} + \frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{r}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{s}\right)}
    • < 1 : kahelaro de 4-sfero aŭ respektiva 5-hiperpluredro
    • = 1 : eŭklida 4-spaca kahelaro
    • > 1 : hiperbola 4-spaca kahelaro

Do ekzistas 3 konveksaj 5-hiperpluredroj, 0 nekonveksaj hiperpluredroj, 3 eŭklidaj 4-spacaj kahelaroj, 5 hiperbolaj 4-spacaj kahelaroj.

Konveksaj regulaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

2 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Ekzistas malfinia aro de konveksaj regulaj plurlateroj estas. Simbolo de Schläfli {p} prezentas regulan p-plurlateron.

Nomo Simbolo de Schläfli {p}
Dulatero {2}
Egallatera triangulo {3}
Kvadrato {4}
Kvinlatero {5}
Seslatero {6}
Seplatero {7}
Oklatero {8}
Naŭlatero {9}
Deklatero {10}
Dekunulatero {11}
Dekdulatero {12}
...n-plurlatero {n}
Malfiniolatero {}
Complete graph K2.svg {2} Triangle.Equilateral.svg {3} SQUARE SHAPE.svg {4} Pentagon.svg {5} Hexagon.svg {6} Heptagon.svg {7} Octagon.svg {8} Nonagon.svg {9} Decagon.svg {10} Hendecagon.svg {11} Dodecagon.svg {12}

Dulatero {2} povas esti konsiderata kiel degenera regula plurlatero.

3 dimensioj[redakti | redakti fonton]

La konveksaj regulaj pluredroj estas nomataj kiel platonaj solidoj, ili estas 5.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q} Edroj {p} Lateroj Verticoj {q} χ Simetrio Duala pluredro
Kvaredro {3,3} 4 {3} 6 4 {3} 2 Td Mem-duala
Kubo (sesedro) {4,3} 6 {4} 12 8 {3} 2 Oh Okedro
Okedro {3,4} 8 {3} 12 6 {4} 2 Oh Kubo
Dekduedro {5,3} 12 {5} 30 20 {3} 2 Ih Dudekedro
Dudekedro {3,5} 20 {3} 30 12 {5} 2 Ih Dekduedro
{3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.svg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
Tetrahedron.png Hexahedron.png Octahedron.png Dodecahedron.png Icosahedron.png

En sfera geometrio, duvertica pluredro {2,n} kaj duedro {n,2} estas kahelaroj de la 2-sfero kaj povas esti konsiderataj kiel degeneraj regulaj pluredroj .

4 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Ekzistas 6 konveksaj regulaj plurĉeloj.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q,r} Ĉeloj {p,q} Edroj {p} Latera figuro {r} Vertica figuro {q,r} χ Duala {r,q,p}
5-ĉelo {3,3,3} 5 {3,3} 10 {3} 10 {3} 5 {3,3} 0 Mem-duala
8-ĉelo (4-hiperkubo) {4,3,3} 8 {4,3} 24 {4} 32 {3} 16 {3,3} 0 16-ĉelo
16-ĉelo {3,3,4} 16 {3,3} 32 {3} 24 {4} 8 {3,4} 0 8-ĉelo
24-ĉelo {3,4,3} 24 {3,4} 96 {3} 96 {3} 24 {4,3} 0 Mem-duala
120-ĉelo {5,3,3} 120 {5,3} 720 {5} 1200 {3} 600 {3,3} 0 600-ĉelo
600-ĉelo {3,3,5} 600 {3,3} 1200 {3} 720 {5} 120 {3,5} 0 120-ĉelo
5-ĉelo 8-ĉelo 16-ĉelo 24-ĉelo 120-ĉelo 600-ĉelo
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
Latera framo en orta projekcio
Cell5-4dpolytope.png Hypercubestar.svg Cell16-4dpolytope.svg 24 Cell Polytopeb.svg Cell120-4dpolytope.gif Cell600-4dpolytope.gif
Solido en orta projekcio (ĉelo-centrita)
Tetrahedron.png
kvaredra koverto
Hexahedron.png
kuba koverto
Octahedron.png
okedra koverto
Ortho solid 24-cell.png
kubokedra
koverto
Ortho solid 120-cell.png
senpintigita romba tridekedra koverto
Ortho solid 600-cell.png
kvinpiramidigita dekduedra koverto
Latera framo de figuro de Schlegel (perspektiva projekcio)
Schlegel wireframe 5-cell.png
(Ĉelo-centrita)
Schlegel wireframe 8-cell.png
(Ĉelo-centrita)
Schlegel wireframe 16-cell.png
(Ĉelo-centrita)
Schlegel wireframe 24-cell.png
(Ĉelo-centrita)
Schlegel wireframe 120-cell.png
(Ĉelo-centrita)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
(Vertico-centrita)
Latera framo (hipersfera)
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

5 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Estas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 aŭ pli multaj dimensioj.

Nomo Grafeo]] Simbolo de Schläfli {p,q,r,s} Facetoj {p,q,r} Ĉeloj {p,q} Edroj {p} Lateroj Verticoj Edra figuro {s} Latera figuro {r,s} Vertica figuro {q,r,s} Duala hiperpluredro
5-simplaĵo Complete graph K6.svg {3,3,3,3} 6{3,3,3} 15{3,3} 20{3} 15 6 {3} {3,3} {3,3,3} Mem-duala
5-hiperkubo Penteract graph.svg {4,3,3,3} 10 {4,3,3} 40 {4,3} 80 {4} 80 32 {3} {3,3} {3,3,3} 5-kruco-hiperpluredro
5-kruco-hiperpluredro Cross graph 5.svg {3,3,3,4} 32 {3,3,3} 80 {3,3} 80 {3} 40 10 {4} {3,4} {3,3,4} 5-hiperkubo

Pli multaj dimensioj[redakti | redakti fonton]

Estas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 aŭ pli multaj dimensioj.

Nomo Simbolo de Schläfli {p1,p2,...,pn-1} Faceta speco Vertica figuro Duala hiperpluredro
n-simplaĵo {3,3,3,...,3} {3,3,...,3} {3,3,...,3} Mem-duala
n-hiperkubo {4,3,3,...,3} {4,3,...,3} {3,3,...,3} n-kruco-hiperpluredro
n-kruco-hiperpluredro {3,...,3,3,4} {3,...,3,3} {3,...,3,4} n-hiperkubo

Finiaj ne konveksaj hiperpluredroj - stelaj hiperpluredroj[redakti | redakti fonton]

2 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Ekzistas malfinie multaj ne-konveksaj regulaj hiperpluredroj en du dimensioj, kies simboloj de Schläfli estas racionalaj nombroj {m/n}. Ili estas nomataj kiel stelaj plurlateroj.

Ĝenerale, por ĉiu natura nombro n, estas n-punktitaj ne-konveksaj regulaj poligonaj steloj kun simboloj de Schläfli {n/m} por ĉiuj m tiaj ke m < n/2 (aŭ pli precize plurlatero {n/m} estas la sama kiel {n/(n-m)} kun verticoj listigitaj en la mala ordo) kaj m kaj n estas interprimoj.

Nomo Simbolo de Schläfli {n/m} (eblaj variantoj)
Stelokvinlatero {5/2}
Steloseplatero {7/2}, {7/3}
Stelooklatero {8/3}
Stelonaŭlatero {9/2}, {9/4}
Stelodeklatero {10/3}
Stelodekunulatero {11/2} {11/3}, {11/4}, {11/5}
Stelodekdulatero {12/5}
Stelo-n-latero {n/m}
Pentagram green.svg {5/2} Obtuse heptagram.svg {7/2} Acute heptagram.svg {7/3} Octagram.svg {8/3} Star polygon 9 2.png {9/2} Star polygon 9 4.png {9/4}

3 dimensioj[redakti | redakti fonton]

La regulaj stelaj pluredroj estas nomataj kiel solidoj de Keplero-Poinsot kaj ili estas 4, faritaj surbaze de verticoj de la dekduedro {5,3} kaj dudekedro {3,5}.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q} Edroj {p} Lateroj Verticoj {q} χ Geometria simetria grupo Duala pluredro
Malgranda steligita dekduedro {5/2,5} 12 {5/2} 30 12 {5} -6 Ih Granda dekduedro
Granda dekduedro {5,5/2} 12 {5} 30 12 {5/2} -6 Ih Malgranda steligita dekduedro
Granda steligita dekduedro {5/2,3} 12 {5/2} 30 20 {3} 2 Ih Granda dudekedro
Granda dudekedro {3,5/2} 20 {3} 30 12 {5/2} 2 Ih Granda steligita dekduedro
Small stellated dodecahedron.png Great dodecahedron.png Great stellated dodecahedron.png Great icosahedron.png
{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}

4 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Estas dek regulaj stelaj plurĉeloj nomataj kiel plurĉeloj de Schläfli-Hess kaj iliaj verticoj estas bazitaj je konveksaj 120-ĉelo {5,3,3} kaj 600-ĉelo {3,3,5}:

Estas 4 mankitaj potencialaj nekonveksaj regulaj plurĉeloj: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Iliaj ĉelaj kaj verticaj figuroj ekzistas, sed ili ne kovras la 3-sferon finian kvanton de ripetadoj.

Nomo
Simbolo de Schläfli {p,q,r} Ĉeloj {p,q} Edroj {p} Latera figuro {r} Vertica figuro {q,r} χ Duala {r,q,p}
Ebenograndigita spacograndigita steligita 120-ĉelo {5/2,3,3} 120 {5/2,3} 720 {5/2} 1200 {3} 600 {3,3} 0 Spacograndigita 600-ĉelo
Spacograndigita 600-ĉelo {3,3,5/2} 600 {3,3} 1200 {3} 720 {5/2} 120 {3,5/2} 0 Ebenograndigita spacograndigita steligita 120-ĉelo
Ebenograndigita steligita 120-ĉelo {5/2,3,5} 120 {5/2,3} 720 {5/2} 720 {5} 120 {3,5} 0 Spacograndigita 120-ĉelo
Spacograndigita 120-ĉelo {5,3,5/2} 120 {5,3} 720 {5} 720 {5/2} 120 {3,5/2} 0 Ebenograndigita steligita 120-ĉelo
Spacograndigita steligita 120-ĉelo {5/2,5,5/2} 120 {5/2,5} 720 {5/2} 720 {5/2} 120 {5,5/2} 0 Mem-duala
Malgranda steligita 120-ĉelo {5/2,5,3} 120 {5/2,5} 720 {5/2} 1200 {3} 120 {5,3} -480 Dudekedra 120-ĉelo
Dudekedra 120-ĉelo {3,5,5/2} 120 {3,5} 1200 {3} 720 {5/2} 120 {5,5/2} 480 Malgranda steligita 120-ĉelo
Ebenograndigita dudekedra 120-ĉelo {3,5/2,5} 120 {3,5/2} 1200 {3} 720 {5} 120 {5/2,5} 480 Ebenograndigita spacograndigita 120-ĉelo
Ebenograndigita spacograndigita 120-ĉelo {5,5/2,3} 120 {5,5/2} 720 {5} 1200 {3} 120 {5/2,3} -480 Ebenograndigita dudekedra 120-ĉelo
Ebenograndigita 120-ĉelo {5,5/2,5} 120 {5,5/2} 720 {5} 720 {5} 120 {5/2,5} 0 Mem-duala

Estas 7 unikaj situoj de edroj de ĉi tiuj 10 nekonveksaj plurĉeloj, montritaj kiel ortaj projekcioj:

Ortho solid 007-uniform polychoron 35p-t0.png
{3,5,5/2}
Ortho solid 008-uniform polychoron 5p5-t0.png
{5,5/2,5} kaj {5,3,5/2}
Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png
{5/2,5,3}
Ortho solid 011-uniform polychoron 53p-t0.png
{5,5/2,3}
Ortho solid 012-uniform polychoron p35-t0.png
{5/2,3,5} kaj {5/2,5,5/2}
Ortho solid 014-uniform polychoron 3p5-t0.png
{3,5/2,5} kaj {3,3,5/2}
Ortho solid 016-uniform polychoron p33-t0.png
{5/2,3,3}

Pli multaj dimensioj[redakti | redakti fonton]

Ne ekzistas ne konveksaj regulaj hiperpluredroj en 5 kaj pli multaj dimensioj.

Kahelaroj[redakti | redakti fonton]

La klasikaj konveksaj hiperpluredroj povas esti konsiderataj kiel kahelaroj de hipersferoj. Kahelaroj de eŭklida kaj hiperbola spaco povas ankaŭ esti konsiderataj (malfiniaj) regulaj hiperpluredroj. n-dimensia hiperpluredro kahelas spacon de dimensio n-1. Ekzemple, la tri dimensiaj pluredroj kahelas 2-dimensian surfacon de 2-sfero.

2 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Estas unu kahelaro de la linio, donanta unu hiperpluredron, la 2-dimensian malfiniolateron. Ĝi havas malfinie multajn verticojn kaj laterojn. Ĝia simbolo de Schläfli estas {∞}.

3 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Eŭklidaj ebenaj kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Estas tri regulaj kahelaroj de la ebeno.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q} Edro {p} Vertica figuro {q} χ Simetrio Duala
Kvadrata kahelaro {4,4} {4} {4} 0 p4m Mem-duala
Triangula kahelaro {3,6} {3} {6} 0 p6m Seslatera kahelaro
Seslatera kahelaro {6,3} {6} {3} 0 p6m Triangula kahelaro
Tile 4,4.svg {4,4} Tile 3,6.svg {3,6} Tile 6,3.svg {6,3}

Estas unu degenera regula kahelaro {∞,2}, farita de du malfiniolateroj, ĉiu enspacanta duonon la ebeno. Ĉi tiu kahelaro estas rilatanta al 2-edra duedro {p,2} sur 2-sfero.

Eŭklidaj stelo-kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Ne ekzistas regulaj ebenaj kahelaroj de stelaj plurlateroj. Estas multaj kombinaĵoj kiuj konformas la kondiĉon (1/p + 1/q = 1/2), ekzemple {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, sed neniu el ili povas ripetiĝi periode.

Hiperbolaj kahelaroj[redakti | redakti fonton]

Estas malfinie multaj regulaj kahelaroj de hiperbola 2-spaco H2. Ĉiu pozitiva duo de entjeroj {p,q} tia ke 1/p + 1/q < 1/2 donas hiperbolan kahelaron.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q} Edro {p} Vertica figuro {q} χ Simetrio Duala
Ordo-5 kvadrata kahelaro {4,5} {4} {5} 0 *542 {5,4}
Ordo-4 kvinlatera kahelaro {5,4} {5} {4} 0 *542 {4,5}
Ordo-7 triangula kahelaro {3,7} {3} {7} 0 *732 {7,3}
Ordo-3 seplatera kahelaro {7,3} {7} {3} 0 *732 {3,7}
Ordo-6 kvadrata kahelaro {4,6} {4} {6} 0 *642 {6,4}
Ordo-4 seslatera kahelaro {6,4} {6} {4} 0 *642 {4,6}
Ordo-5 kvinlatera kahelaro {5,5} {5} {5} 0 *552 Mem-duala
Ordo-8 triangula kahelaro {3,8} {3} {8} 0 *832 {8,3}
Ordo-3 oklatera kahelaro {8,3} {8} {3} 0 *832 {3,8}
Ordo-7 kvadrata kahelaro {4,7} {4} {7} 0 *742 {7,4}
Ordo-4 seplatera kahelaro {7,4} {7} {4} 0 *742 {4,7}
Ordo-6 kvinlatera kahelaro {5,6} {5} {6} 0 *652 {6,5}
Ordo-5 seslatera kahelaro {6,5} {6} {5} 0 *652 {5,6}
Ordo-9 triangula kahelaro {3,9} {3} {9} 0 *932 {9,3}
Ordo-3 naŭlatera kahelaro {9,3} {9} {3} 0 *932 {3,9}
Ordo-8 kvadrata kahelaro {4,8} {4} {8} 0 *842 {8,4}
Ordo-4 oklatera kahelaro {8,4} {8} {4} 0 *842 {4,8}
Ordo-7 kvinlatera kahelaro {5,7} {5} {7} 0 *752 {7,5}
Ordo-5 seplatera kahelaro {7,5} {7} {5} 0 *752 {5,7}
Ordo-6 seslatera kahelaro {6,6} {6} {6} 0 *662 Mem-duala

Estas 2 malfiniaj formoj de hiperbolaj kahelaroj de stelaj plurlateroj, {m/2, m} kaj ilia dualaj {m,m/2} kun m=7,9,11,...

Devas esti agnoskita ke ĉiuj lateroj kaj anguloj en la bildoj de kahelaroj pli sube estas egalaj kaj nur pro la projekcio ili aspektas diverse.

Hyperspace tiling 4-5.png {4,5} Hyperspace tiling 5-4.png {5,4} Hyperbolic tiling 3-7.png {3,7} Hyperbolic tiling 7-3.png {7,3}

4 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Kahelaroj de eŭklida 3-spaco[redakti | redakti fonton]

Perspektiva vido en kuba kahelaro {4,3,4}

Estas nur unu regula kahelaro de eŭklida 3-spaco.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q,r} Ĉeloj {p,q} Edroj {p} Latera figuro {r} Vertica figuro {q,r} χ Duala
Kuba kahelaro {4,3,4} {4,3} {4} {4} {3,4} 0 Mem-duala

Kahelaroj de hiperbola 3-spaco[redakti | redakti fonton]

Estas 4 regulaj kahelaroj de hiperbola 3-spaco H3.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q,r} Ĉeloj {p,q} Edroj {p} Latera figuro {r} Vertica figuro {q,r} χ Duala
Ordo-3 dudekedra kahelaro {3,5,3} {3,5} {3} {3} {5,3} 0 Mem-duala
Ordo-5 kuba kahelaro {4,3,5} {4,3} {4} {5} {3,5} 0 {5,3,4}
Ordo-4 dekduedra kahelaro {5,3,4} {5,3} {5} {4} {3,4} 0 {4,3,5}
Ordo-5 dekduedra kahelaro {5,3,5} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 Mem-duala

La unua bildo montras la perspektivon de la centro de la disko en modelo de Beltrami-Klein, kaj la dua kaj tria de ekstere per diska modelo de Poincaré.

Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
{5,3,4}
(8 dekduedroj je vertico)
Hyperb gcubic hc.png
{4,3,5}
(20 kuboj je vertico)
Hyperb icosahedral hc.png
{3,5,3}
(12 dudekedroj je vertico)

Estas ankaŭ 11 kahelaroj de H3 kiuj havas malfiniajn (eŭklidajn) ĉeloj aŭ verticajn figurojn: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, {6,3,6}.

5 dimensioj[redakti | redakti fonton]

Kahelaroj de eŭklida 4-spaco[redakti | redakti fonton]

Estas tri specoj de malfiniaj regulaj kahelaroj de eŭklida 4-spaco.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q,r,s} Facetoj {p,q,r} Ĉeloj {p,q} Edroj {p} Edra figuro {s} Latera figuro {r,s} Vertica figuro {q,r,s} Duala
Hiperkuba 4-kahelaro {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} {3,3,4} Mem-duala
16-ĉela 4-kahelaro {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
24-ĉela 4-kahelaro {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}
Tesseractic tetracomb.png
Hiperkuba 4-kahelaro
{4,3,3,4}
Demitesseractic tetra hc.png
16-ĉela 4-kahelaro
{3,3,4,3}
Icositetrachoronic tetracomb.png
24-ĉela 4-kahelaro
{3,4,3,3}

Kahelaroj de hiperbola 4-spaco[redakti | redakti fonton]

Estas 5 konveksaj regulaj kahelaroj kaj 4 stelaj regulaj kahelaroj de hiperbola 4-spaco H4.

Nomo Simbolo de Schläfli {p,q,r,s} Faceto {p,q,r} Ĉelo {p,q} Edro {p} Edra figuro {s} Latera figuro {r,s} Vertica figuro {q,r,s} Duala
{3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}
{5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}
{4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {4} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}
{5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {4} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}
{5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} Mem-duala
{5/2,5,3,3} {5/2,5,3} {5/2,5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2}
{3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5,5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3}
{3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2,5} {5,5/2,5} {5,5/2,5,3}
{5,5/2,5,3} {5,5/2,5} {5,5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5}

Estas ankaŭ 2 H4 kahelaroj kun malfiniaj (eŭklidaj) facetoj aŭ verticaj figuroj: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Pli altaj dimensioj[redakti | redakti fonton]

Kahelaroj de eŭklida spaco[redakti | redakti fonton]

Hiperkuba kahelaro estas la sola malfinia regula kahelaro kiu povas kaheli eŭklidan spacon de kvin aŭ pli multaj dimensioj, formante hiperkubaj facetoj, kvar ĉirkaŭ ĉiu kresto.

Nomo Simbolo de Schläfli {p1, p2, ..., pn−1} Faceto Vertica figuro Duala
Kvadrata kahelaro {4,4} {4} {4} Mem-duala
Kuba kahelaro {4,3,4} {4,3} {3,4} Mem-duala
4-hiperkuba kahelaro {4,3,3,4} {4,3,3} {3,3,4} Mem-duala
5-hiperkuba kahelaro {4,3,3,3,4} {4,3,3,3} {3,3,3,4} Mem-duala
6-hiperkuba kahelaro {4,3,3,3,3,4} {4,3,3,3,3} {3,3,3,3,4} Mem-duala
Ordo-4 n-hiperkuba kahelaro {4,3,...,3,4} {4,3,...,3} {3,...,3,4} Mem-duala

Kahelaroj de hiperbola spaco[redakti | redakti fonton]

Ne ekzistas finio-facetitaj regulaj kahelaroj de hiperbola spaco de dimensio 5 aŭ pli alta.

Estas 5 regulaj kahelaroj en H5 kun malfiniaj (eŭklidaj) facetoj aŭ verticaj figuroj: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4}, {4,3,3,4,3}.

Ne ekzistas regulaj kahelaroj de hiperbola spaco de dimensio 6 aŭ pli alta.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • H.S.M. Coxeter, Regulaj Hiperpluredroj, 3-a. red., Doveraj Eldonoj, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabeloj I kaj II: Regulaj hiperpluredroj kaj kahelaroj, pp. 294-296)
  • H.S.M. Coxeter, La Belo de Geometrio: Dek du Eseoj, Doveraj Eldonoj, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Ĉapitro 10: Regulaj kahelaroj en hiperbola spaco, enkondukaj tabeloj II,III,Iv,V, p212-213)

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]