Lorenca transformo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Norma konfiguro de koordinatsistemoj por Lorencaj transformoj.
Vidoj de spactempo laŭ la monda linio de rapide akcelanta rigardanto movanta en 1-dimensia (rekto) universo. La vertikalo indikas tempo, dum la horizontala indikas distancon, la haltostrekita linio estas la spactempa trajektorio ("monda linio") de la rigardanto. La malgrandaj punktoj estas specifaj eventoj en spactempo. Se ĉi tiuj eventoj al ekbriloj de lumo, tiam la eventoj kiuj pasi la du diagonalaj linioj en la funda duono de la bildo (la pasinteca luma konuso de la rigardanto en la fonto) estas la eventoj videbla al la rigardanto. La inklino de la monda linio (dekliniĝo de vertikalo) donas la relativa rapidon al la rigardanto. Notu kiel la vido de spactempo ŝanĝiĝas kiam la rigardanto akcelas.
Videbligo de la Lorenca transformo. Nur unu spaca koordinato estas konsiderata.
Videbligo de la Lorenca transformo. Nur unu spaca koordinato estas konsiderata. Koordinatoj x'' kaj t'' respektivas al pli rapide moviĝanta kadro ol x' kaj t'.

En fiziko, la lorenca transformo estas koordinata transformo en speciala teorio de relativeco kiu konvertas dimensiojn de spaco kaj tempo inter du malsamaj rigardantoj, kie unu rigardanto estas en konstanta moviĝo kun respekto al la alia.

La respektiva transformo de Galileo en ne-relativisma okazo estas x'=x-vt, priskribanta ke la fonto de unu rigardanta koordinatsistemo moviĝas respektive al la alia, je rapido v laŭ la x-akso de ĉiu kadro. Laŭ speciala teorio de relativeco, ĉi tiu estas nur bona proksimumado je multa pli malgrandaj rapidoj ol la lumrapideco, kaj ĝenerale la rezulto estas ne nur ŝovo de la x koordinatoj. Ankaŭ longoj kaj tempoj estas ŝanĝitaj.

Se spaco estas homogena, do la lorenca transformo devas esti lineara transformo. Ankaŭ, pro tio ke relativeco postulas ke la lumrapideco estas la sama por ĉiuj rigardantoj, ĝi devas konservi la spactempan intervalon inter ĉiuj du eventoj en spaco de Minkowski. La lorencaj transformoj priskribas nur la transformoj en kiu la evento je spaca koordinati x=0 kaj tempo t=0 restas fiksita, tiel ili povas esti konsiderata kiel turnado de spaco de Minkowski. La pli ĝenerala aro de transformoj kiuj inkluzivas ankaŭ ŝovojn estas la grupo de Poincaré.

Estu du rigardantoj O kaj Q, ĉiu uzanta siajn karteziajn koordinatojn por mezuri spacajn kaj tempajn intervalojn. O uzas koordinatojn (t, x, y, z) kaj Q uzas koordinatojn (t', x', y', z'). Estu la koordinatsistemoj orientitaj tiel ke la x-akso kaj la x'-akso interkovriĝas, la y-akso estas paralela al la y'-akso, la z-akso estas paralela al la z'-akso. La relativa rapido inter la du rigardantoj estas v laŭ la komuna x-akso. La fontoj de ambaŭ koordinatsistemoj estu la sama. Se ĉi ĉiuj kondiĉoj veras, la koordinatsistemoj estas en la norma konfiguro.

La lorenca transformo por norma konfiguro estas:

 t' = \frac{1}{ \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} \left( t - v x/c^{2} \right)
 x' = \frac{1}{ \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} \left( x - v t \right)
 y' = y \!
 z' = z \!

kie \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} estas la lorenca faktoro.

Skalara fizika kvanto invarianta sub lorencaj transformoj estas lorenca skalaro.

La transformo konservas ekvaciojn de Maxwell.

Pruvo[redakti | redakti fonton]

Lorenca transformo devas koincidi kun galilea transformo en limiga okazo, kiam la rapido estas malgranda. Same kiel la galilea transformo, la lorenca transformo estas lineara: la relativa rapido de la referencaj kadroj estas konstanto. Ili estas nomataj kiel inerciaj aŭ galileaj referencaj kadroj.

La kutima konsidero estas bazita sur la invarianteco de la lumrapideco, ĝi devas esti sendependa de la referenca kadro. Tamen, ĉi tiu estas ne bezone la deirpunkto. La propraĵo konservado de kaŭzeco, kondiĉo kiu estas pli malforta en matematika senco ol la invarianteco de la lumrapideco, estas sufiĉa por certigi ke la koordinataj transformoj estas la lorencaj transformoj.

La alia deirpunkto estas tio ke pro la relativeco neniu el la inerciaj referencaj kadroj estas privilegia.

En ne-relativisma okazo, la tuteca delokigo x en la R kadro estas sumo de la relativa delokigo x' en kadro R' kaj de la delokigo de kadro R' en kadro R. Se v estas la relativa rapido de R' relative al R, do

x=x'+vtx'=x-vt.

Ĉi tiu interrilato estas lineara por konstanta v.

En relativeco, la ĉefa diferenco estas tio ke spaco estas funkcio de tempo kaj inverse, kaj do povas esti ke t ≠ t'. La plej ĝenerala lineara interrilato estas ricevita per aldono de tri konstantaj koeficientoj a, b, g:

x' = g(x-vt)
t' = b(t+a x)

Ĝenerale lineara interrilato estas havas kvar konstantajn koeficientojn, sed en ĉi tiu okazo la kvara koeficiento foriras pro kondiĉo de la relativa rapido de la kadroj, kio estas ke devas esti x'=0 se x=vt.

Per invarianteco de la lumrapideco[redakti | redakti fonton]

Lumrapideco estas sendependa de la referenca kadro. Tiel devas esti x = ct se x' = ct':

ct' = g(c-v)t
t' = b(1+ac)t

Enenmetate t' el la dua ekvacio en la unuan rezultas:

cb(1+ac)t = g(c-v)t

kaj do

1+a c=\frac{g}{b}\left(1-\frac{v}{c}\right)
a =-\frac{v}{c^2}
b = g = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

La ĉiuj koeficientoj estas trovitaj kaj do:

x=\frac{x' + vt'}{ \sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}} }
t=\frac{t' + \frac{vx'}{c^2}}{ \sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}}

Per principo de relativeco[redakti | redakti fonton]

Laŭ la principo de relativeco, neestas privilegia inercia kadro de referenco. Oni povas trovi la saman transformon de kadro R al R' kaj de R' al R, kvankam signumo de la rapido v estas malsama inter la du transformoj.

Jena derivaĵo uzas nur la principo de relativeco kiu estas sendependa de luma rapida konstanteco.

La inversa transformo de

x' = g(x-vt)
t' = b(t+ax)

estas

x=\frac{1}{1+av}\left(\frac{x'}{g}+\frac{vt'}{b}\right)
t=\frac{1}{1+av}\left(\frac{t'}{b}-\frac{ax'}{g}\right)

Laŭ la principo de relativeco, la esprimoj de x kaj t estas:

x = g(x'+vt')
t = b(t'+ax')

Kio estas la sama formo de transformo krom la signumo ĉe la rapido v:

Tial estas du identoj kiuj devas esti veraj por ĉiuj x' kaj t':

x=g(x'+vt')=\frac{1}{1+av}\left(\frac{x'}{g}+\frac{vt'}{b}\right)
t=b(t'+ax')=\frac{1}{1+av}\left(\frac{t'}{b}-\frac{ax'}{g}\right)

Tiel fine estas:

b = g = \frac{1}{\sqrt{1+av}}

Ĉi tiu idento estas la sama kiel tiu en la antaŭa pruvo, kvankam ĉi tie ne estas konkreta valoro de la koeficientoj, ĉar la lumrapideco ne estas konsiderata.

Matrica formo[redakti | redakti fonton]

Ĉi tiu lorenca transformo estas nomata kiel "pligrandigo" en la x-direkto kaj povas esti esprimita en matrica formo kiel:


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}\
kie \beta = \frac{v}{c}=\frac{\|\vec{v}\|}{c}
kaj \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \ .

Tio estas ofte skribita tiel:

\left\{\begin{matrix}ct'= \gamma.(ct - \beta.x) \\ x' = \gamma.(x -\beta.ct) \\ y' = y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\
 z' = z \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Notu ke ĉi tio estas nur la pligrandigo, kio estas transformo inter du kadroj kiuj estas en relativa moviĝo. Sed la plej ĝenerala lorenca transformo enhavas ankaŭ turnadon de la tri aksoj. Ĉi tiu pligrandigo sola estas donita per simetria matrico, sed la ĝenerala lorenca transforma matrico estas ne simetria.

Lorenca rapida parametro[redakti | redakti fonton]

La lorenca transformo povas esti skribita en la alia utila formo kun uzo de la parametro φ (hiperbola angulo) nomata kiel la lorenca rapida parametro tra la ekvacio:

e^{\phi} = \gamma(1+\beta) = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + v/c}{1 - v/c}

Ekvivalente:

\phi = \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] , -\phi = \ln \left[\gamma(1-\beta)\right] \,

Tiam la lorenca transformo en norma konfiguro estas:

c t-x =  e^{-\phi}(c t' - x') \
c t+x =  e^{\phi} \ \ (c t' + x') \
y = y' \
z = z' \

Tiam

 \gamma = \cosh(\phi) = { e^{\phi} + e^{-\phi} \over 2 }
 \beta = \tanh(\phi) = { e^{\phi} - e^{-\phi} \over e^{\phi} + e^{-\phi} }

kaj do

 \beta \gamma = \sinh(\phi) = { e^{\phi} - e^{-\phi} \over 2 }

La lorenca transformo estas la hiperbola turnado (ŝanĝo simila al turnado sed donita ne per trigonometriaj funkcioj sed per hiperbolaj funkcioj) de koordinatoj en spaco de Minkowski, kie la lorenca rapida parametro φ estas la hiperbola angulo de turnado.

Tiel en la matrica formo la transformo povas esti skribita kiel:


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cosh(\phi) &-\sinh(\phi)&0&0\\
-\sinh(\phi) & \cosh(\phi) &0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}

Movo de kadro en ajna direkto[redakti | redakti fonton]

Por pligrandigo en ajna direkto kun rapido \vec{v}, oni malkomponu la spacan vektoron \vec{r} en komponantajn perpendikularan kaj paralelan al la rapido \vec{v}: \vec{r}=\vec{r}_\perp+\vec{r}_\|. Tiam nur la komponanto \vec{r}_\| direkte al \vec{v} estas kurbigita per la gama faktoro:

 t' = \gamma \left(t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{c^{2}} \right)
 \vec{r'} = \vec{r}_\perp + \gamma (\vec{r}_\| - \vec{v} t)

kie \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \vec{v} \cdot \vec{v}/c^2}}.

Tiam

\vec{r'} = \vec{r} + \left(\frac{\gamma -1}{v^2} (\vec{r} \cdot \vec{v}) - \gamma t \right) \vec{v}

Ĉi tiuj ekvacioj povas esti esprimitaj en matrica formo kiel


\begin{bmatrix}
c t' \\
\mathbf{r'}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma \mathbf{v}^\mathrm{T}/c \\
-\frac{\gamma\mathbf{v}}{c} & I + (\gamma-1) \frac {\mathbf{v} \mathbf{v}^\mathrm{T}}{v^2} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}

kie I estas la identa matrico,

v estas rapido skribita kiel kolumna vektoro
vT estas transpono de la rapido - versa vektoro.

En la alia skribmaniero


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\
-\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}

kie \mathbf{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c}=(\beta_{x}, \beta_{y}, \beta_{z})

\beta = \frac{v}{c}=\frac{\|\vec{v}\|}{c}
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

Spactempa intervalo[redakti | redakti fonton]

En donita koordinatsistemo (x^\mu), se du eventoj (punktoj en spactempo) A kaj B estas apartigitaj per

(\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z) = (t_B-t_A, x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A) \

la spactempa intervalo inter ili estas

s^2 = - c^2(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \  .

Ĉi tiu povas esti skribita en alia formo per la metriko de Minkowski. En ĉi tiu koordinatsistemo,


\eta_{\mu\nu} =
\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

Do:


s^2 = \begin{bmatrix}c \Delta t & \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} c \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix}

aŭ per la ejnŝtejna sumada konvencio

s^2=  x_\nu \eta_{\mu}^{\nu} x^\mu

Transformaj grupoj[redakti | redakti fonton]

Se oni faru koordinatan transformon x^\mu \rightarrow x'^\mu, la spactempa intervalo en ĉi tiu nova koordinatsistemo estas


s'^2 = \begin{bmatrix}c \Delta t' & \Delta x' & \Delta y' & \Delta z' \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} c \Delta t' \\ \Delta x' \\ \Delta y' \\ \Delta z' \end{bmatrix}

s'^2=  x'_\nu \eta_{\mu}^{\nu}  x'^\mu \

Estas rezulto de speciala teorio de relativeco, ke la intervalo estas invarianto. Tio estas, s^2 = s'^2\ . Ĉi tiu invarianteco postulas ke la koordinata transformo estas de formo

x'^\mu = x_\mu \Lambda^{\mu}_{\alpha} + C^\mu

Ĉi tie C^\mu\ estas konstanta vektoro kaj \Lambda^{\mu}_{\alpha} konstanta matrico.

Sammaniere

x'_\nu = x^\nu \Lambda_{\nu}^{\beta} + C_\nu

Oni postulas ke

\Lambda^{\mu}_{\alpha} \eta_{\mu}^{\nu} \Lambda_{\nu}^{\beta} = \eta_{\alpha}^{\beta} \ ,

ĉi tia transformo estas nomata kiel transformo de Poincarénehomogena lorenca transformo. La C^{\mu} \ prezentas spaco-tempan movon. Se C^{\mu} = 0 \ , la transformo estas nomata kiel homogena lorenca transformo, aŭ simple lorenca transformo.

La aro de ĉiuj lorencaj transformoj formas grupon, nomatan la lorenca grupo.

Fare de invarianteco, la determinanto de \Lambda^{\mu}_{\alpha} \eta_{\mu}^{\nu} \Lambda_{\nu}^{\beta} = \det \eta_{\alpha}^{\beta} = 1 \ ,

do

[\det ({\Lambda^\mu}_\nu)]^2 =  1 \ .

Lorencaj transformoj kun \det ({\Lambda^\mu}_\nu)=+1 estas nomataj kiel propraj lorencaj transformojpozitivaj lorencaj transformoj. Ili konsistas el spacaj turnadoj kaj pligrandigoj kaj formas subgrupon de la lorenca grupo. Tiuj kun \det({\Lambda^\mu}_\nu)=-1 estas nomata kiel nepropraj lorencaj transformoj kaj konsistas el (diskretaj) spacaj kaj tempaj reflektoj kombinitaj kun spacaj turnadoj kaj pligrandigoj. Ili ne formas subgrupon, ĉar la produto de iuj du nepropraj lorencaj transformoj estas propra lorenca transformo.

La komponaĵo de du transformoj de Poincaré estas transformo de Poincaré kaj la aro de ĉiuj transformoj de Poincaré kun la operacio de komponado estas grupo nomata kiel la grupo de Poincaré. La spaco de Minkowski povas esti vidita kiel la geometrio difinita per la grupo de Poincaré, kiu kombinas lorencaj transformoj kun movoj.

Historio[redakti | redakti fonton]

La transformoj estis unue esploritaj kaj publikigitaj de Joseph Larmor en 1897.

Nederlanda fizikisto kaj matematikisto Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) publikigis version de la unua ordo de ĉi tiuj transformoj en 1895 kaj la finan version en 1899 kaj 1904.

En 1905 Henri Poincaré nomis la lorencaj transformoj post Lorentz.

La lorencaj transformoj formas la matematikan bazon por la speciala teorio de relativeco de Albert Einstein. Albert Einstein interpretis la ekvaciojn kiel fizika relativeco. En 1905 Albert Einstein derivis ilin sub la supozoj de la principo de relativeco kaj la konstanteco de la lumrapideco en ĉiu inercia referenca kadro.

Multaj fizikistoj, inter ili George FitzGerald, Larmor, Lorentz, Woldemar Voigt, diskutis la fizikon kiu estas sub ĉi tiuj ekvacioj ekde 1887. Larmor kaj Lorentz, kiuj kredis je la lumokonduka etero, hipotezis ke la transformoj estas tiuj sub kiuj ekvacioj de Maxwell estis invariantaj kiam estas trairo de la etera kadro al moviĝanta kadro.

En komenco de jaro 1889, Oliver Heaviside montris de ekvacioj de Maxwell ke la elektra kampo ĉirkaŭanta sferan distribuon de elektra ŝargo devus ne havi sferan simetrion se la ŝargo estas en moviĝo relative al la etero.

FitzGerald tiam konjektis ke la rezulto de Oliver Heaviside pri la malformiĝo povus esti aplikita al teorio de intermolekulaj fortoj. Je iuj monatoj poste FitzGerald publikigis sian konjekto en Scienco al ekspliki la rezulton de la etero-venta eksperimento de Michelson-Morley farita en 1887. Ĉi tiu estis sciata kiel la ekspliko de FitzGerald-Lorentz de la nula rezulto de Michelson kaj Morley. Ilia ekspliko estis larĝe akceptita kiel vera antaŭ 1905.

Larmor prenas krediton por malkovranta, esploranta) la bazaj ekvacioj en 1897 kaj por estante unua en komprenanta la krita tempa pligrandiĝa propraĵo imanenta en liaj ekvacioj.

Henri Poincaré la unua agnoskis ke la lorencaj transformoj havas la propraĵojn de grupo.

Ambaŭ Larmor kaj Lorentz esploris ke la transformo konservas ekvaciojn de Maxwell.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]