Modelo de Debye

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La modelo de Debye estas modelo de solido far Peter Debye en 1912. Ĝi modelas la kontribuaĵojn de fononoj en solido al la propraĵoj de la solido. Ĝi estas akurata ĉe aŭ altegaj aŭ malaltegaj temperaturoj, sed ne estas akurata ĉe mezaj temperaturoj.

Derivado[redakti | redakti fonton]

Konsideru solidan kubon kun eĝo L. Ĝi havas sonajn modojn etiketitajn per tri entjerojn n_x,n_y,n_z tia ke la ondolongo laŭ la x-direkto estas \lambda_x=2L/n_x kaj simile por y kaj z.

Ni supozu konstantan rapidon de sono v ĝis ia maksimuma frekvenco. (Tiu postulo ne estas ĝusta por fononoj kun grandegaj frekvencoj.) Do la energio de la (n_x,n_y,n_z)-fonono estas

E=\frac{hv}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}=\frac{hv}{2L}\lVert\mathbf n\rVert.

Fononoj estas bosonoj: ili sekvas la statistikon de Bose-Einstein

N(E)=3/(\exp(E/kT)-1)

kie la faktoro 3 nombras la elektojn de polarizoj: unu longitudan, du transversajn.

Do la tuta energio U(T) de aro de fononoj ĉe temperaturo T estas

U(T)=3\sum_{\mathbf n}^{\lVert\mathbf n\rVert\le n_\max}\frac{\lVert\mathbf n\rVert hv/2L}{\exp(\lVert\mathbf n\rVert hv/2LkT)-1}

kie n_\max priskribas la maksimuman frekvencon de sono. Ni uzas proksimumadon per anstataŭigi sumon per integralo:

U=3\int_{n_x,n_y,n_z>0}^{\lVert\mathbf n\rVert\le n_\max}\operatorname d^3\!\mathbf n\;\frac{\lVert\mathbf n\rVert hv/2L}{\exp(\lVert\mathbf n\rVert hv/2LkT)-1}=\frac38\int_{\lVert\mathbf n\rVert\le n_\max}\operatorname d^3\!\mathbf n\;\frac{\lVert\mathbf n\rVert hv/2L}{\exp(\lVert\mathbf n\rVert hv/2LkT)-1}.

Ansataŭigu \lVert\mathbf n\rVert hv/2LkT\mapsto x kaj difinu la temperaturon de Debye T_{\mathrm D}=n_\max hv/2Lk:

U(T)=\frac38kTn_\max^3(T/T_\mathrm D)^3\cdot 4\pi\int_0^{T_D/T}\frac{r^3}{\exp r-1}=
\frac\pi 2kTn_\max^3D_3(T_\mathrm D/T)

kie D_3 estas la tria funkcio de Debye.

Fine, ni observu ke la tuta volumeno de la \mathbf n-spaco egalu la nombron N de partikloj: \frac18\cdot\frac43\pi n_\max^3=N. Do

U(T)/N=3kTD_3(T_\mathrm D/T).

La sendimensia varmokapacito C_V/Nk estas

C_V/Nk=\frac1{Nk}\frac{\operatorname dU}{\operatorname dT}=3\left(4D_3(T_\mathrm D/T)-\frac{3T_\mathrm D/T}{\exp(T_\mathrm D/T)-1}\right).

Ĉe temperaturo T\ll T_\mathrm D,

C_V/Nk\approx\frac{12\pi^4}5(T/T_\mathrm D)^3.

Ĉe temperaturo T\gg T_\mathrm D,

C_V/Nk\approx3.

(Tiu ĉi estas la leĝo de Dulong–Petit.)

Funkcioj de Debye[redakti | redakti fonton]

La funkcioj de Debye D_n(x) faciligas kalkulojn pri la modelo de Debye. Ili estas difinitaj jene:

D_n(x)=\frac n{x^n}\int_0^x\frac{\operatorname d\!s\;s^n}{\exp s-1}.

Ili verigas:

D_n(0)=1.
\lim_{x\to\infty}D_n(x)x^n=n\zeta(n+1)n!.
\frac{\operatorname d}{\operatorname d\!x}D_n(x)=\frac n{\exp x-1}-(n/x)D_n(x).

Tabelo de Temperaturoj de Debye de realaj solidoj[redakti | redakti fonton]

aluminio 428 K
arĝento 215 K
berilio 1440 K
cezio 38 K
fero 470 K
kadmio 209 K
karbono 2230 K
kromio 630 K
kupro 343.5 K
mangano 410 K
nikelo 450 K
oro 170 K
plateno 240 K
plumbo 105 K
silicio 645 K
stano (blanka) 200 K
tantalo 240 K
titano 420 K
volframo 400 K
zinko 327 K

Datenoj el Kittel 1996.

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • CRC Handbook of Chemistry and Physics, 56a eld. (1975–1976)
  • Schroeder, Daniel V. An Introduction to Thermal Physics. San Francisco: Addison-Wesley, 2000. §7.5.
  • Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics (7a eld.). John Wiley & Sons, 1996. ISBN 0-471-11181.
  • Weisstein, Eric W. "Debye function", MathWorld.