Modulo (algebro)

En abstrakta algebro, la nocio modulo super ringo estas komuna ĝeneraligo de du la plej gravaj nocioj en algebro, vektora spaco, kaj komuta grupo.

Difino

Aparte, maldekstra R-modulo super la ringo R konsistas de komuta grupo (M, +) kaj operacio R × M → M (nomita kiel skalara multipliko, kutime skribita kiel rx por r en R kaj x en M) tia ke

por ĉiuj r,s en R, x,y en M:

r(x+y) = rx+ry
(r+s)x = rx+s x
(rs)x = r(s x)
1x = x

Kutime, oni simple skribas "maldekstra R-modulo M" aŭ _RM. Dekstra, R-modulo M aŭ M_R estas difinita simile, sed la ringo operacias, dekstre, kio estas ke la skalara multipliko estas de formo M × R → M, kaj la pli supraj aksiomoj estas skribitaj kun skalaroj r kaj s dekstre de x kaj y.

Dumodulo estas modulo kiu estas samtempe maldekstra modulo kaj dekstra modulo.

Se R estas komuta do maldekstraj R-moduloj estas la samo kiel dekstraj R-moduloj kaj estas simple nomitaj kiel R-moduloj.

Ekzemploj

Se K estas kampo, tiam nocioj "K-vektora spaco" kaj K-modulo estas identaj.
La koncepto de Z-modulo kongruas kun nocio de komuta grupo. Tio estas, ke ĉiu komuta grupo estas modulo super la ringo de entjeroj Z en unika maniero. Por n > 0, estu nx = x + x + … + x (n termoj), 0x = 0, kaj (−n)x = −(nx).
Se R estas iu ringo kaj n estas natura nombro, do la kartezia produto Rⁿ estas ambaŭ maldekstra kaj dekstra moduloj super R se oni uzi la laŭkomponantaj operacioj. De ĉi tie kiam n=1, R estas R-modulo, kie la skalara multipliko estas la ringa multipliko. La okazo n=0 rendimentas al la bagatela R-modulo {0} konsistanta nur de ĝia identa ero. Moduloj de ĉi tiu tipo estas nomitaj kiel liberaj kaj la nombro n estas tiam la rango de la libera modulo.
Se S estas nemalplena aro, M estas maldekstra R-modulo, kaj M^S estas kolekto de ĉiuj funkcioj f : S → M, tiam kun aldono kaj skalara multipliko en M^S difinita per (f + g)(s) = f(s) + g(s) kaj (_rf_)(s) = _rf_(s), M^S estas maldekstra R-modulo. La okazo de dekstra R-modulo estas analoga. Aparte, se R estas komuta tiam la kolekto de R-modulaj homomorfioj h : M → N (vidi pli sube) estas R-modulo (kaj fakte submodulo de N^M).
Se X estas glata dukto, tiam la glataj funkcioj de X al la reela nombra formas ringon C^∞(X). La aro de ĉiuj glataj vektoraj kampoj difinitaj sur X formas modulon super C^∞(X), kaj do faras la tensorajn kampojn kaj la diferencialajn formojn sur X.
La kvadrataj n-per-n matricoj kun reelaj elementoj formas ringon R, kaj la eŭklida spaco Rⁿ estas maldekstra modulo super ĉi tiu ringo se oni difinas la modula operacio tra matrica multipliko.
Se R estas iu ringo kaj I estas iu maldekstra idealo en R, tiam I estas maldekstra modulo super R. Analoge kompreneble, dekstraj idealoj estas dekstraj moduloj.

Tipoj de moduloj

Finie generita. Modulo M estas finie generita se tie ekzistas finie multaj eroj x₁,…,x_n en M tiaj ke ĉiu ero de M estas lineara kombinaĵo de tiuj eroj kun koeficientoj de la skalara ringo R.

Cikla modulo. Modulo estas nomita kiel cikla modulo se ĝi estas generita per unu ero.

Libera. Libera modulo estas modulo kiu havas bazon, aŭ ekvivalente, ĝi estas izomorfia al direkta sumo de kopioj de la skalara ringo R. Ĉi tiuj moduloj similas al vektoraj spacoj.

Projekcia.

Disĵeta.

Simpla. A simpla modulo S estas modulo kiu estas ne {0} kaj solaj submoduloj du kiu estas {0} kaj S. Simplaj moduloj estas nomitaj kiel neredukteblaj.

Nemalmuntebla.

Konscienca.

Gradusita.

Vidu ankaŭ