Multiplika funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En nombroteorio, multiplika funkcio estas aritmetika funkcio f(n) de la pozitiva entjero n kun la propraĵoj f(1) = 1 kaj por ĉiuj interprimoj a kaj b

f(ab) = f(a) f(b) .

Aritmetika funkcio f(n) estas forte multiplika se f(ab) = f(a) por ĉiu primo a kaj pozitiva entjero b.

Aritmetika funkcio f(n) estas plene multiplika se f(1) = 1 kaj f(ab) = f(a) f(b) veras por ĉiuj pozitivaj entjeroj a kaj b, eĉ se ili estas ne interprimoj. Tiam f(ab) = f(a)b.

Ekster nombroteorio, la termino multiplika estas kutime uzata por funkcioj kun la propraĵo f(ab) = f(a) f(b) por ĉiuj argumentoj a kaj b; ĉi tio postulas ke f(1) = 1, aŭ f(a) = 0 por ĉiuj a escepti a = 1. Ĉi tiu artikolo diskutas nombro-teoriajn multiplikajn funkciojn.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Ekzemploj de multiplikaj funkcioj inkluzivas multajn funkciojn gravajn en nombroteorio:

  • \phi(n): eŭlera funkcio \phi, kalkulanta la pozitivajn entjerojn kiuj estas interprimo al n kaj esras ne pli grandaj n
  • \mu(n): la funkcio de Möbius, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj de kvadrato-liberaj nombroj
  • plej granda komuna divizoro(n,k): la plej granda komuna divizoro de n kaj k, kie k estas fiksita entjero.
  • d(n): la kvanto de pozitivaj divizoroj de n,
  • \sigma(n): la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n,
  • \sigmak(n): la dividanta funkcio, kiu estas la sumo de la k-onaj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n (kie k povas esti ĉiu kompleksa nombro). En specialaj okazoj:
    • \sigma0(n) = d(n) kaj
    • \sigma1(n) = \sigma(n) ,
  • 1(n): la konstanta funkcio, difinita kiel 1(n) = 1 (plene multiplika)
  • Id(n): identa funkcio, difinita kiel Id(n) = n (plene multiplika)
  • Idk(n): la pova funkcio, difinita kiel Idk(n) = nk por ĉiu natura aŭ kompleksa nombro k (plene multiplika). Kiel specialaj okazoj:
    • Id0(n) = 1(n) kaj
    • Id1(n) = Id(n) ,
  • \epsilon(n): la funkcio difinita kiel \epsilon(n) = 1 se n = 1 kaj = 0 se n > 1, iam nomata kiel multiplika unuo por rulumo de Dirichlet aŭ simple la unuobla funkcio; iam skribita kiel u(n), ĝi estu ne konfuzita kun \mu(n) (plene multiplika).
  • (n/p), la simbolo de Legendre, kie p estas fiksita primo (plene multiplika).
  • \lambda(n): la funkcio de Liouville, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj dividantaj na n (plene multiplika).
  • \gamma(n), difinita kiel \gamma(n)=(-1)\omega(n), kie la alsuma funkcio \omega(n) estas la kvanto de diversaj primoj dividantaj na n.
  • Ĉiuj signoj de Dirichlet estas plene multiplikaj funkcioj.

Ekzemplo de ne-multiplika funkcio estas la aritmetika funkcio r2(n) - la kvanto de prezentoj de n kiel sumoj de kvadratoj de du entjeroj, pozitivaj, negativaj, aŭ nulo, kie en kalkulo de la kvanto de la manieroj, malaj ordoj estas permesataj. Ekzemple:

1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2

kaj pro tio r2(1) = 4 ≠ 1. Ĉi tio montras ke la funkcio estas ne multiplika. Tamen, r2(n)/4 estas multiplika.

Vidu en aritmetika funkcio por iuj aliaj ekzemploj de ne-multiplikaj funkcioj.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Multiplika funkcio estas plene difinita per siaj valoroj je la potencoj de primoj, kio estas konsekvenco de la fundamenta teoremo de aritmetiko. Tial, se n estas produto de potencoj de diversaj primoj

n = pa qb ..., tiam
f(n) = f(pa) f(q b) ...

Ĉi tiu propraĵo de multiplikaj funkcioj grave reduktas la necesan por kalkulado, kiel en jenaj ekzemploj por n = 144 = 24 · 32:

d(144) = \sigma0(144) = \sigma0(24)\sigma0(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
\sigma(144) = \sigma1(144) = \sigma1(24)\sigma1(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403,
\sigma*(144) = \sigma*(24)\sigma*(32) = (11 + 161)(11 + 91) = 17 · 10 = 170.

Simile:

\phi(144)=\phi(24)\phi(32) = 8 · 6 = 48

Ĝenerale, se f(n) estas multiplika funkcio kaj a, b estas iuj du pozitivaj entjeroj, tiam

f(a) · f(b) = f(PGKD(a,b)) · f(PMKO(a,b)).

Ĉiu plene multiplika funkcio estas homomorfio de monoidoj kaj estas plene difinita per ĝia limigo al la primoj.

Rulumo[redakti | redakti fonton]

Se f kaj g estas du multiplikaj funkcioj, unu difinas nova multiplika funkcio f * g, la rulumo de Dirichlet de f kaj g, per

(f * g)(n) = ∑d |n f(d)g(n/d)

kie la sumo etendas super ĉiuj pozitivaj divizoroj d de n. Kun ĉi tiu operacio, la aro de ĉiuj multiplikaj funkcioj estas komuta grupo; la identa ero estas \epsilon.

Rilatoj inter la multiplikaj funkcioj estas:

La rulumo de Dirichlet povas esti difinita por ĝeneralaj aritmetikaj funkcioj, kaj donas ringan strukturon, la ringon de Dirichlet.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]