Ondfunkcio

Ĉi tiu artikolo diskutas la koncepton de ondfunkcio rilatanta al la kvantummekaniko. La termino havas grave malsaman signifon kiam ĝin estas uzata en la ĉirkaŭteksto de klasika mekaniko aŭ klasika elektromagnetismo.

Difino

Oni moderne uzas la terminon "ondfunkcio" por temi pri vektoro aŭ funkcio kiu priskribas la staton de fizika sistemo per ĝia elvolvo kiel kombino de aliaj statoj de la sama sistemo. Tipe, ondfunkcio estas:

• aŭ kompleksa vektoro kun fina nombro da komponantoj

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$,

• aŭ kompleksa vektoro kun senfina nombro da komponantoj

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\\\vdots \end{bmatrix}}$,

• aŭ kompleksa funkcio de unu aŭ pli reela variabloj ("kontinue indicita" kompleksa vektoro)

$\psi (x_{1},\,\ldots \,x_{n})$.

La ondfunkcio provizas ĉian priskribon de la asociita fizika sistemo. Tamen, gravas noti, ke la ondfunkcio asociita kun iu sistemo ne estas unike difinita per tiu sistemo, ĉar multaj malsamaj ondfunkcioj povas priskribi la saman fizikan realaĵon.

Interpretado

La fizika interpretado de la ondfunkcio dependas de la ĉirkaŭteksto. Kelkaj ekzemploj estas provizitaj sube, sekvitaj per detala diskuto de la tri ebloj priskribitaj supre.

Unu partiklo en unudimensia spaco

La spaca ondfunkcio asociita kun partiklo en unu dimensio estas kompleksa funkcio $\psi (x)\,$ difinita super la reela linio. La kompleksa kvadrato de la ondfunkcio, $|\psi |^{2}\,$, estas interpretita kiel la probablodenso asociita kun la partikla pozicio, kaj de ĉi tio la probablo mezuri la partiklan pozicion en la intervalo $[a,b]$ estas

$\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,dx\quad$.

Ĉi tio kondukas al la normaliga kondiĉo

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx=1\quad$.

ekde mezuro de la partikla pozicio devas produkti reelan nombron.

Unu partiklo en tridimensia spaco

La tridimensia okazo analogas al la unudimensia; la ondfunkcio estas kompleksa funkcio $\psi (x,y,z)\,$ difinita super tridimensia spaco, kaj ĝia kompleksa kvadrato estas interpretata kiel tridimensia probablodensa funkcio. La probablo, ke mezuro de la partikla pozicio rezultos en valoro kiu estas en la volumeno $R$ estas tial

$\int _{R}|\psi (x)|^{2}\,dV$.

La normaliga kondiĉo estas ankaŭ

$\int |\psi (x)|^{2}\,dV=1$

kie la antaŭvenanta integralo estas prenita tra ĉiu spaco.

Du diferencigeblaj partikloj en tridimensia spaco

En ĉi tiu okazo la ondfunkcio estas kompleksa funkcio de ses spacaj variabloj,

$\psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})\,$,

kaj $|\psi |^{2}\,$ estas la kuna probabla denseca funkcio asociita kun la pozicioj de ambaŭ partikloj. La probablo, ke la mezuro de la pozicioj de ambaŭ partikloj rezultas "la unua partiklo estas en la regiono R kaj la dua partiklo estas en la regiono S" estas tiam

$\int _{R}\int _{S}|\psi |^{2}\,dV_{2}dV_{1}$

kie $dV_{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1}$ kaj simile por $dV_{2}$. La normaliga kondiĉo estas tial

$\int |\psi ^{2}|\,dV_{2}dV_{1}=1$

kie la antaŭvenanta integralo estas prenita tra la plena limigo de ĉiuj ses variabloj.

Estas de ega graveco kompreni ke, ĉe dupartiklaj sistemoj, nur la sistemo konsistanta de ambaŭ partikloj havas necese bone difinitan ondfunkcion. Tio signifas, iu probablodensa funkcio pri la pozicio de la unua partiklo kiu ne eksplicite dependas de la pozicio de la dua partiklo povas esti nehavebla. Ĉi tio donas pligrandiĝo al la fenomeno de kvantuma implikeco.

Unu partiklo en unudimensia momanta spaco

La ondfunkcio por unudimensia partiklo en la momanta spaco estas kompleksa funkcio $\psi (p)\,$ difinita super la reela linio. La kvanto $|\psi |^{2}\,$ estas interpretita kiel probablodensa funkcio en momanta spaco, kaj de ĉi tio la probablo de mezuri la partikla momanta rendimenta valoro en la intervalo $[a,b]$ estas

$\int _{a}^{b}|\psi (p)|^{2}\,dp\quad$.

Ĉi tiu kondukas al la normaliga kondiĉo

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (p)|^{2}\,dp=1$

ekde mezuro de la partikla momanto ĉiam rezultas en reela nombro.

Spino 1/2

La ondfunkcio por duonspina partiklo (ignorante ĝian spaciajn libergradojn) estas kolumna vektoro

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}$.

La signifo de la vektoraj komponantoj dependas sur la bazo, sed ĝenerale $c_{1}$ kaj $c_{2}$ estas respektive la koeficientoj de spino supren kaj spino suben en la $z$ direkto. En Diraka notacio ĉi tio estas:

$|\psi \rangle =c_{1}|\uparrow _{z}\rangle +c_{2}|\downarrow _{z}\rangle$

La valoroj $|c_{1}|^{2}\,$ kaj $|c_{2}|^{2}\,$ estas tiam respektive interpretitaj kiel la probablo de ricevanta spino supren aŭ spino suben en la z-a direkto kiam la partikla spino estas mezurata. Ĉi tio kondukas al la normaliga kondiĉo

$|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1\,$.

Interpretado

Ondfunkcio priskribas la staton de fizika sistemo per elvolvado de ĝi per aliaj statoj de la sama sistemo. Oni signifos la staton de la sistemo sub konsidero kiel $|\psi \rangle \,$ kaj la statoj en kiujn ĝi estas estas elvolvata kiel $|\phi _{i}\rangle$. Kolektive la lasta estas referita al kiel bazo aŭ prezento. Ĉiuj ondfunkcioj estas alprenitaj al esti ununormigitaj.

Finiaj vektoroj

Ondfunkcio kiu estas vektoro ${\vec {\psi }}$ kun $n$ komponantoj priskribas kiel al esprimi la stato de la fizika sistemo $|\psi \rangle$ kiel la lineara kombinaĵo de finie multaj bazaj eroj $|\phi _{i}\rangle$, kie $i$ trairas de $1$ al $n$. En aparta la ekvacio

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$,

kiu estas rilato inter kolumnaj vektoroj, estas ekvivalento al

$|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|\phi _{i}\rangle$,

kiu estas rilato inter la statoj de fizika sistemo. Oni priatentu: per pasi inter ĉi tiuj esprimoj oni devas koni la uzitan bazon, kaj de ĉi tie, du kolumnaj vektoroj kun la sama komponantoj povas prezenti du malsamaj statoj de la sistemo se iliaj asociitaj bazaj statoj estas malsamaj. Ekzemplo de ondfunkcio kiu estas finia vektoro estas la spinaj statoj de duonspina partiklo, kiel oni priskribis supre.

La fizika signifo de la komponantoj de ${\vec {\psi }}$ estas donita per la ondfunkcia kolapsa postulato:

Se la statoj $|\phi _{i}\rangle$ havas klarajn, definitivajn valorojn, $\lambda _{i}$, de iu dinamika variablo (e.g. momanto, pozicio, ktp) kaj mezuro de tiuj variabloj estas plenumita sur sistemo en la stato

$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle$

tiam la probablo de mezuro $\lambda _{i}$ estas $|c_{i}|^{2}$, kaj se la mezura rendimento $\lambda _{i}$, la sistemo estas restita en la stato $|\phi _{i}\rangle$.

Malfiniaj vektoroj

Vektorojn malfiniajn kun diskreta indekso oni prilaboras sammaniere, kiel finajn vektorojn, esceptante, ke oni etendas la sumo super ĉiuj bazaj eroj. Tiel:

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\\\vdots \end{bmatrix}}$

estas ekvivalento al

$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\psi _{i}\rangle$,

kie laŭ onidiroj la pli supra sumo inkluzivas ĉiuj komponantoj de ${\vec {\psi }}$. La interpretado de la komponantoj estas la sama kiel la finia okazo (apliki la kolapsa postulato).

Kontinue indeksitaj vektoroj (funkcioj)

Ĉe kontinua indekso, la sumo estas anstataŭigita per integralo; ekzemplo de ĉi tio estas la spaca ondfunkcio de partiklo en unu dimensio, kiu elvolvas la fizika stato de la partiklo, $|\psi \rangle$, en terminoj de statoj kun definitiva pozicio, $|x\rangle$. Tial

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)|x\rangle \,dx$.

Priatentu, ke, $|\psi \rangle$ estas ne la sama kiel $\psi (x)\,$. La antaŭa estas la reala stato de la partiklo, dum la lasta estas simple ondfunkcio priskribanta kiel al esprimi la antaŭa kiel kompono de statoj kun definitiva pozicio. En ĉi tiu okazo, la baza stato povas esti esprimita kiel

$|x_{0}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{0})|x\rangle \,dx$

kaj de ĉi tie la spaca ondfunkcio asociita kun $|x_{0}\rangle$ estas $\delta (x-x_{0})\,$.

Formalismo

Oni atentu pri izolita fizika sistemo; la permesitaj statoj de ĉi tiu sistemo (kio estas la statoj kiu la sistemo povis okupi laŭ la fizikaj leĝoj) formas vektora spaco $H$. Tio estas,

1. Se $|\psi \rangle$ kaj $|\phi \rangle$ estas du statoj kiu apartenas al $H$, ĝi estas alprenita kiu ajna kompono

$a|\psi \rangle +b|\phi \rangle$

ankaŭ apartenas al $H$.

kaj,

2. La vektoraj spacaj aksiomoj (kio estas la ordinaraj reguloj de vektora algebro) estas kontentigita.

En ĉi tiu ĉirkaŭteksto la ondfunkcio asociita kun aparta stato povas esti vidita kiel elvolvaĵo de la stato en bazo por la vektora spaco $H$. Ekzemple,

$\{|\uparrow _{z}\rangle ,|\downarrow _{z}\rangle \}$

estas bazo por la spaco asociita kun la spino de spino-1/2 partiklo kaj sekve la spina stato de tia partiklo povas esti skribita unike kiel

$a|\uparrow _{z}\rangle +b|\downarrow _{z}\rangle$.

Iam estas utile elvolvi la staton de fizika sistemo per statoj kiu estas ne permesitaj, kaj de ĉi tie, ne en $H$. Ekzemplo de ĉi tiu estas la spaca ondfunkcio asociita kun partiklo en unu dimensio kiu elvolvas la staton de la partiklo per statoj kun definitiva pozicio. Ĉi tiuj statoj estas malpermesitaj, tamen, ĉar ili atencas la necertecan principon. Bazoj kiel ĉi tiuj estas nomataj kiel nepropraj bazoj.

Ĉiu hilberta spaco havas enan produton, sed la naturo de la ena produto dependas de la speco de bazo uzata. Kiam estas kalkuleble multaj bazaj eroj $\{|\phi _{i}\rangle \}\,$ ĉiuj el kiuj apartenas al $H$, $H$ estas ekipita kun la unika ena produto kiu faras ĉi tiun bazon al esti ortornormalan, kio estas,

$\langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle =\delta _{ij}$

Kiam ĉi tiu estas farita, la ena produto de $|\phi _{i}\rangle$ kun la elvolvaĵo de ajna vektoro estas

$\langle \phi _{i}|\sum _{j}c_{j}|\phi _{j}\rangle =c_{i}$.

Se la bazaj eroj konsistigas kontinuaĵon, kiel, ekzemple, la pozicio aŭ koordinato bazo konsistanta de ĉiuj statoj de definitiva pozicio $\{|x\rangle \}$, estas kutime elekti la dirakan normaligon

$\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$

tiel ke la analoga idento

$\langle x|\int \psi (x')|x'\rangle \,dx'=\int \psi (x')\delta (x-x')\,dx'=\psi (x)$

veras.

Vidu ankaŭ

• Onda paketo
• Bosono - partiklo kun simetria ondfunkcio sub permuto
• Fermiono - partiklo kun malsimetria ondfunkcio sub permuto
• Kvantuma mekaniko
• Ekvacio de Schrödinger