Pareco de funkcioj

Pareco de funkcioj aŭ para funkio estas funkcio kiu havas simetrion laŭ argumento.

Alinome:

para funkcio

funkcio, kiu plenumas ekvacion $f(-x) = f(x)$;

malpara funkico

funkcio, kiu plenumas ekvacion $f(-x) = -f(x)$.

Grafikaĵo

Grafikaĵo de para funkcio estas simetria aŭ akso Y, kaj malpara estas simetria laŭ mezo de koordinatsistemo. Se nulo estas ene de fontaro de malpara funkcio $f$, tiam $f(0) = 0$ .

Ekzemploj

Paraj funkcioj

• Absoluta valoro $\ f(x) = |x|$,
• potenca funkcio kun para potenco, $\ f(x) =x^{2k}, k\in \mathbb N$,
• trigonometria funkcio $\ f(x)=\cos x$,

Malparaj funkcioj

• lineara funkcio $f(x)= \ ax$
• potenca funkcio kun malpara potenco: $f(x)=x^{2k+1}, k\in \mathbb N$,
• trigonometria funkcio $\ f(x)=\sin x$ kaj $f(x)=\operatorname{tg} x$,

Ecoj

• Paraj funkcioj neniam estas disĵetoj.
• Funkcio povas esti nek para kaj nek malpara.
• Nur unu funkcio estas para kaj malpara samtempe:

$f(x)=0$ por ĉiuj $x \in D$.

• Ĉiu funkcio $f$, por kiu ĉi tiu difino havas sencon, oni povas verki el sumo de para funkcio $g$ kaj malpara $h$, kaj por ĉiu $x$ el fontaro $g(x)=1/2(f(x)+f(-x))$ kaj $h(x)=1/2(f(x)-f(-x))$.
• Estu paraj funkcioj $f_{1},\,f_{2}$, kaj ankaŭ estu malparaj funkdioj $g_{1},\,g_{2}$ . Tiam:
  1. $f_{1} \cdot f_{2}$ kaj $\frac{f_{1}}{f_{2}}$ (en fontaro sen nula lokoj de $f_2$) estas paraj funkcioj,
  2. $g_{1} \cdot g_{2}$ kaj $\frac{g_{1}}{g_{2}}$ (en fontaro sen nula lokoj de $g_2$) estas paraj funkcioj,
  3. $f_{1} \cdot g_{1}$ kaj $\frac{f_{1}}{g_{1}}$ (en fontaro sen nula lokoj de $g_1$) estas malparaj funkcioj,
  4. $f_{1} \circ f_{2}$ estas para funkcio,
  5. $g_{1} \circ g_{2}$ estas malpara funkcio,
  6. $f_{1} \circ g_{1}$ estas para funkcio,
  7. $g_{1} \circ f_{1}$ estas para funkcio.